ID#283 HSC ICT CQ (Comilla 2025)

ক) বুলিয়ান দ্বৈতনীতি কী?
বুলিয়ান অ্যালজেবরায় ব্যবহৃত অর (OR) এবং অ্যান্ড (AND) অপারেশনের সাথে সম্পর্কযুক্ত সকল বৈধ সমীকরণ বা উপপাদ্য থেকে অন্য একটি বৈধ সমীকরণ পাওয়ার নীতিকে দ্বৈতনীতি বলা হয়। এক্ষেত্রে '0' এর বদলে '1', '1' এর বদলে '0' এবং 'OR (+)' এর বদলে 'AND (.)', 'AND (.)' এর বদলে 'OR (+)' ব্যবহার করা হয়।

খ) $8 + 8 = 10$ ব্যাখ্যা কর।
সাধারণ দশমিকে $8 + 8 = 16$ হলেও হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে $8 + 8 = 10$ হয়। হেক্সাডেসিমেল পদ্ধতিতে যোগ করার সময় যোগফল যদি ভিত্তির (১৬) সমান বা বেশি হয়, তবে যোগফল থেকে ভিত্তি বিয়োগ করতে হয় এবং হাতে (Carry) ১ থাকে। এখানে, $8 + 8 = 16$; ভিত্তি ১৬ বিয়োগ করলে হয় $16 - 16 = 0$ এবং ক্যারি থাকে ১। ফলে ফলাফল হয় ১০।

গ) চিত্র-১ এর X-এর মান সরলীকরণ ও সত্যক সারণি
উদ্দীপকের চিত্র-১ অনুযায়ী, লজিক গেটগুলো বিশ্লেষণ করলে পাই:
প্রথম NOR গেটের আউটপুট = $\overline{A+B}$
দ্বিতীয় NOR গেটের আউটপুট = $\overline{B+C}$
X হলো NAND গেটের আউটপুট, তাই $X = \overline{(\overline{A+B}) \cdot (\overline{B+C})}$

সরলীকরণ:
$X = \overline{\overline{A+B}} + \overline{\overline{B+C}}$ [ডি-মরগানের উপপাদ্য অনুযায়ী]
$X = (A + B) + (B + C)$
$X = A + B + C$

সত্যক সারণি:
যেহেতু সরলীকৃত মান $X = A + B + C$ (একটি ৩-ইনপুট OR গেট), এর সত্যক সারণি হবে:

A	B	C	X
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

ঘ) চিত্র-২ এর সমীকরণটি শুধুমাত্র NAND গেট দিয়ে বাস্তবায়ন বিশ্লেষণ
চিত্র-২ এর সমীকরণটি হলো: $F = \overline{\overline{\bar{A} + \bar{B}} + \overline{A + B}}$

সমীকরণটি সরলীকরণ:
১. প্রথম অংশ: $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$
২. দ্বিতীয় অংশ: $\overline{A + B}$
সুতরাং, $F = \overline{(A \cdot B) + (\overline{A + B})}$

NAND গেটের মাধ্যমে বাস্তবায়নযোগ্য রূপে রূপান্তর:
NAND গেট দিয়ে বাস্তবায়নের শর্ত হলো পুরো সমীকরণে শুধু গুণ (.) এবং উপরে বার (—) থাকতে হবে।
$F = \overline{(A \cdot B) + (\overline{A + B})}$
$F = \overline{A \cdot B} \cdot \overline{\overline{A + B}}$ [ডি-মরগানের সূত্র অনুযায়ী]
$F = \overline{A \cdot B} \cdot (A + B)$
$F = (\overline{A \cdot B} \cdot A) + (\overline{A \cdot B} \cdot B)$
এখন পুনরায় ডাবল বার নিয়ে আমরা একে NAND ফরমেটে নিতে পারি:
$F = \overline{\overline{(\overline{A \cdot B} \cdot A) + (\overline{A \cdot B} \cdot B)}}$
$F = \overline{\overline{(\overline{A \cdot B} \cdot A)} \cdot \overline{(\overline{A \cdot B} \cdot B)}}$
বিশ্লেষণ:
যেহেতু প্রাপ্ত চূড়ান্ত সমীকরণে শুধুমাত্র গুণ (.) এবং পূরক (—) অপারেশন বিদ্যমান, তাই এটি শুধুমাত্র সার্বজনীন NAND গেট ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করা সম্ভব। NAND গেট দিয়ে প্রথমে $A \cdot B$ এর বার, তারপর সেটির সাথে A এবং B এর আলাদা গুণের বার এবং সবশেষে পুরোটির বার নিয়ে লজিক সার্কিট তৈরি করা যাবে।