ID#5825 HSC Physics 1st CQ (Rajshahi 2025)

(ক) সমবিভব তল কাকে বলে?
কোনো মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের যে তলের প্রতিটি বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভবের মান সমান থাকে, তাকে সমবিভব তল বলে।

(খ) সূর্যের কাছাকাছি গেলে কোনো গ্রহের বেগ বাড়ে—ব্যাখ্যা কর।
কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র (ক্ষেত্রফলীয় বেগের সূত্র) অনুসারে, সূর্য ও গ্রহের সংযোজক সরলরেখা সমান সময়ে সমান ক্ষেত্রফল অতিক্রম করে। অর্থাৎ গ্রহের কৌণিক ভরবেগ ($L = mvr$) ধ্রুব থাকে।
যখন কোনো গ্রহ সূর্যের কাছাকাছি আসে, তখন এর ব্যাসার্ধ বা দূরত্ব ($r$) কমে যায়। কৌণিক ভরবেগ ধ্রুব রাখার জন্য তখন গ্রহের রৈখিক বেগ ($v$) বৃদ্ধি পায়।

(গ) উপগ্রহটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, কক্ষীয় বেগ $v = 3.08 kms^{-1} = 3080 ms^{-1}$
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক $G = 6.7 \times 10^{-11} Nm^2kg^{-2}$
পৃথিবীর ভর $M = 6.0 \times 10^{24} kg$
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^6 m$ (ধরে পাই)

আমরা জানি, কক্ষীয় বেগ $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
$\therefore R + h = \frac{GM}{v^2}$
$6.4 \times 10^6 + h = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{(3080)^2}$
$6.4 \times 10^6 + h = \frac{4.02 \times 10^{14}}{9486400}$
$6.4 \times 10^6 + h \approx 42376455 m$
$h = 42376455 - 6400000$
$h = 35976455 m \approx 35976.46 km$
সুতরাং উপগ্রহটির উচ্চতা প্রায় $35976.46 km$।

(ঘ) উপগ্রহটি ভূ-স্থির কি-না গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
কোনো উপগ্রহ ভূ-স্থির হতে হলে তার আবর্তনকাল ($T$) পৃথিবীর নিজ অক্ষের চারদিকে আবর্তনকালের (২৪ ঘণ্টা বা ৮৬৪০০ সেকেন্ড) সমান হতে হবে।

আমরা জানি, আবর্তনকাল $T = \frac{2\pi(R+h)}{v}$
(গ) থেকে প্রাপ্ত কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, $r = R+h = 42376455 m$
$\therefore T = \frac{2 \times 3.1416 \times 42376455}{3080}$
$T = \frac{266258521.1}{3080}$
$T \approx 86447.57 s$

ঘণ্টায় প্রকাশ করলে: $T = \frac{86447.57}{3600} \approx 24.01$ ঘণ্টা।
যেহেতু উপগ্রহটির আবর্তনকাল প্রায় ২৪ ঘণ্টা, যা পৃথিবীর আবর্তনকালের সমান, তাই গাণিতিকভাবে বলা যায় উপগ্রহটি একটি ভূ-স্থির উপগ্রহ।