ID#5844 HSC Physics 1st CQ (Dhaka 2024)
MS Word Writing Guide
১.
প্রথমে উপরের COPY বাটনে ক্লিক করুন।
২.
MS Word-এ গিয়ে Ctrl + V দিয়ে পেস্ট করুন।
৩.
সমীকরণটি সিলেক্ট করে কিবোর্ডে Alt + = চাপুন।
Shortcut: Alt and equal key
৪.
এরপর ডানদিকের ড্রপডাউন থেকে Professional সিলেক্ট করলেই গণিত সুন্দর দেখাবে।
$\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$, $\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$ এবং $\vec{C} = \hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$ তিনটি ভেক্টর।
ক) অবস্থান ভেক্টর কী?
খ) $\hat{i} \cdot \hat{i} \neq 0$ কেন? ব্যাখ্যা কর।
গ) $\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
ঘ) উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে কিনা—গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
ব্যাখ্যা
(ক) অবস্থান ভেক্টর কী?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।
(খ) $\hat{i} \cdot \hat{i} \neq 0$ কেন? ব্যাখ্যা কর।
আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল $\vec{P} \cdot \vec{Q} = |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos\theta$। এখানে $\hat{i}$ হলো x-অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর। $\hat{i}$ এবং $\hat{i}$ একই দিকে ক্রিয়াশীল হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 0^{\circ}$ এবং এদের মান $1$।
$\therefore \hat{i} \cdot \hat{i} = (1) \times (1) \times \cos 0^{\circ} = 1 \times 1 \times 1 = 1$।
যেহেতু ফলাফল ১, তাই $\hat{i} \cdot \hat{i} \neq 0$। মূলত দুটি ভেক্টর লম্ব হলে ($\theta = 90^{\circ}$) তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়, কিন্তু এখানে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল।
(গ) $\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$
$\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ $= B \cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$
এখানে, $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times -1) + (3 \times 2) + (5 \times 7) = -2 + 6 + 35 = 39$
এবং $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \approx 6.164$
$\therefore$ অভিক্ষেপ $= \frac{39}{6.164} \approx 6.327$
$\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ $6.327$।
(ঘ) উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে কিনা—গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
তিনটি ভেক্টর একই সমতলে থাকার শর্ত হলো তাদের ত্রয়ী স্কেলার গুণফল (Scalar Triple Product) শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$।
আমরা নির্ণায়কের সাহায্যে এটি পরীক্ষা করি:
$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) =
\begin{vmatrix}
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z \\
C_x & C_y & C_z
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \\
-1 & 2 & 7 \\
1 & 7 & -1
\end{vmatrix}$
$= 2 [ (2 \times -1) - (7 \times 7) ] - 3 [ (-1 \times -1) - (7 \times 1) ] + 5 [ (-1 \times 7) - (2 \times 1) ]$
$= 2 [ -2 - 49 ] - 3 [ 1 - 7 ] + 5 [ -7 - 2 ]$
$= 2 [ -51 ] - 3 [ -6 ] + 5 [ -9 ]$
$= -102 + 18 - 45 = -129$
গাণিতিক বিশ্লেষণ: যেহেতু $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -129 \neq 0$, তাই উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে না। এরা একটি ঘনকের (Parallelepiped) তিনটি ধার নির্দেশ করে যার আয়তন ১২৯ ঘন একক।
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।
(খ) $\hat{i} \cdot \hat{i} \neq 0$ কেন? ব্যাখ্যা কর।
আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল $\vec{P} \cdot \vec{Q} = |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos\theta$। এখানে $\hat{i}$ হলো x-অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর। $\hat{i}$ এবং $\hat{i}$ একই দিকে ক্রিয়াশীল হওয়ায় এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 0^{\circ}$ এবং এদের মান $1$।
$\therefore \hat{i} \cdot \hat{i} = (1) \times (1) \times \cos 0^{\circ} = 1 \times 1 \times 1 = 1$।
যেহেতু ফলাফল ১, তাই $\hat{i} \cdot \hat{i} \neq 0$। মূলত দুটি ভেক্টর লম্ব হলে ($\theta = 90^{\circ}$) তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়, কিন্তু এখানে ভেক্টর দুটি সমান্তরাল।
(গ) $\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$
$\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ $= B \cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$
এখানে, $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times -1) + (3 \times 2) + (5 \times 7) = -2 + 6 + 35 = 39$
এবং $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \approx 6.164$
$\therefore$ অভিক্ষেপ $= \frac{39}{6.164} \approx 6.327$
$\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর অভিক্ষেপ $6.327$।
(ঘ) উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে কিনা—গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
তিনটি ভেক্টর একই সমতলে থাকার শর্ত হলো তাদের ত্রয়ী স্কেলার গুণফল (Scalar Triple Product) শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$।
আমরা নির্ণায়কের সাহায্যে এটি পরীক্ষা করি:
$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) =
\begin{vmatrix}
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z \\
C_x & C_y & C_z
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \\
-1 & 2 & 7 \\
1 & 7 & -1
\end{vmatrix}$
$= 2 [ (2 \times -1) - (7 \times 7) ] - 3 [ (-1 \times -1) - (7 \times 1) ] + 5 [ (-1 \times 7) - (2 \times 1) ]$
$= 2 [ -2 - 49 ] - 3 [ 1 - 7 ] + 5 [ -7 - 2 ]$
$= 2 [ -51 ] - 3 [ -6 ] + 5 [ -9 ]$
$= -102 + 18 - 45 = -129$
গাণিতিক বিশ্লেষণ: যেহেতু $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -129 \neq 0$, তাই উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে থাকবে না। এরা একটি ঘনকের (Parallelepiped) তিনটি ধার নির্দেশ করে যার আয়তন ১২৯ ঘন একক।
Resource Details
| Exam | HSC |
| Subject | Physics 1st paper |
| Chapter | 2 |
| Board | Dhaka |
| Year | 2024 |
Discussion — HSC Physics 1st CQ (Dhaka 2024)
No discussion yet. Be the first to post a comment!