ID#5860 HSC Physics 1st CQ (Jessore 2024)

(ক) আয়ত একক ভেক্টর কী?
ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি ধনাত্মক অক্ষ ($X, Y$ ও $Z$) বরাবর যে তিনটি একক ভেক্টর ($\hat{i}, \hat{j}$ ও $\hat{k}$) বিবেচনা করা হয়, তাদের আয়ত একক ভেক্টর বলে।

(খ) একটি ভেক্টর রাশিকে কীরূপে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করবে? ব্যাখ্যা কর।
একটি ভেক্টর রাশিকে মূলত দুটি উপায়ে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করা যায়:
১. মান গ্রহণের মাধ্যমে: কোনো ভেক্টর রাশির পরম মান নিলে তা স্কেলারে রূপান্তরিত হয়। যেমন: $|\vec{A}| = A$।
২. ডট গুণনের মাধ্যমে: দুটি ভেক্টর রাশির স্কেলার বা ডট গুণন করলে একটি স্কেলার রাশি পাওয়া যায়। যেমন: $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$। উদাহরণস্বরূপ, বল ($\vec{F}$) ও সরণ ($\vec{s}$) ভেক্টর হলেও এদের ডট গুণফল কাজ ($W$) একটি স্কেলার রাশি।

(গ) $F_1$ এর ভেক্টর রূপ নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, $\vec{F_1}$ ভেক্টরটি $Y$ অক্ষের সাথে $30^{\circ}$ কোণে এবং ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
$\therefore$ ধনাত্মক $X$ অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ, $\theta = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$
ভেক্টরটির মান, $F_1 = 15 N$

ভেক্টরটির $X$ অক্ষ বরাবর উপাংশ, $F_{1x} = F_1 \cos 120^{\circ} = 15 \times (-0.5) = -7.5 N$
ভেক্টরটির $Y$ অক্ষ বরাবর উপাংশ, $F_{1y} = F_1 \sin 120^{\circ} = 15 \times 0.866 = 12.99 N$

$\therefore \vec{F_1}$ এর ভেক্টর রূপ:
$\vec{F_1} = F_{1x}\hat{i} + F_{1y}\hat{j}$
$\vec{F_1} = (-7.5\hat{i} + 12.99\hat{j}) N$

(ঘ) উদ্দীপকে $\vec{F_1} + \vec{F_2}$ এবং $\vec{F_1} - \vec{F_2}$ পরস্পর লম্ব কি-না? যাচাই কর।
দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হতে হবে।
ধরি, $\vec{A} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ এবং $\vec{B} = \vec{F_1} - \vec{F_2}$।
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (\vec{F_1} + \vec{F_2}) \cdot (\vec{F_1} - \vec{F_2})$
$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{F_1} \cdot \vec{F_1} - \vec{F_1} \cdot \vec{F_2} + \vec{F_2} \cdot \vec{F_1} - \vec{F_2} \cdot \vec{F_2}$
$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{F_1}|^2 - |\vec{F_2}|^2$ (যেহেতু $\vec{F_1} \cdot \vec{F_2} = \vec{F_2} \cdot \vec{F_1}$)

দেওয়া আছে,
$|\vec{F_1}| = 15 N$
$|\vec{F_2}| = 10 N$

মান বসিয়ে পাই:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (15)^2 - (10)^2$
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 225 - 100$
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 125 N^2$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: যেহেতু $(\vec{F_1} + \vec{F_2})$ এবং $(\vec{F_1} - \vec{F_2})$ ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল শূন্য নয় ($\vec{A} \cdot \vec{B} \neq 0$), সেহেতু ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব নয়।