ID#5883 HSC Physics 1st CQ (Chittagong 2024)

(ক) কাল্পনিক পর্যাবৃত্ততা এর সংজ্ঞা দাও।
যদি কোনো রাশির মান একটি নির্দিষ্ট সময় বা নির্দিষ্ট দূরত্ব পর পর পুনরাবৃত্ত না হয়ে কোনো গাণিতিক নিয়মে কাল্পনিকভাবে পরিবর্তিত হয়, তবে তাকে কাল্পনিক পর্যাবৃত্ততা বলে।

(খ) অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর—ব্যাখ্যা কর।
যে ভেক্টরের পাদবিন্দু নির্দিষ্ট থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। অবস্থান ভেক্টরের ক্ষেত্রে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুকে সর্বদা পাদবিন্দু হিসেবে নির্দিষ্ট ধরা হয়। যেহেতু এর পাদবিন্দুটি মূল বিন্দুতে স্থির এবং ইচ্ছামতো পরিবর্তন করা যায় না, তাই অবস্থান ভেক্টর একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

(গ) $\vec{PQ}$ ও $\vec{PR}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।
বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর:
$\vec{P} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{Q} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{R} = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$

$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (3-2)\hat{i} + (-1+1)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = \hat{i} - \hat{k}$
$\vec{PR} = \vec{R} - \vec{P} = (1-2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$

মানসমূহ:
$|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
$|\vec{PR}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$

ডট গুণফল:
$\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (1 \times -1) + (0 \times -2) + (-1 \times 2) = -1 + 0 - 2 = -3$

মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, $\cos \theta = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}||\vec{PR}|}$
$\cos \theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = \cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 135^{\circ}$
$\vec{PQ}$ ও $\vec{PR}$ এর মধ্যবর্তী কোণ ১৩৫$^{\circ}$।

(ঘ) “বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত অবস্থান ভেক্টরগুলো একই তলে আছে কি-না”— তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
তিনটি ভেক্টর একই তলে থাকার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ত্রয়ী গুণফল (Scalar Triple Product) শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ $\vec{P} \cdot (\vec{Q} \times \vec{R}) = 0$।

ভেক্টর তিনটি:
$\vec{P} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{Q} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{R} = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$

নির্ণায়কের সাহায্যে গুণফল:
$V = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}$
$V = 2(-5 - (-6)) - (-1)(15 - 2) + 3(-9 - (-1))$
$V = 2(1) + 1(13) + 3(-8)$
$V = 2 + 13 - 24 = 15 - 24 = -9$

গাণিতিক বিশ্লেষণ: যেহেতু ভেক্টর তিনটির স্কেলার ত্রয়ী গুণফলের মান শূন্য নয় ($V \neq 0$), তাই বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত অবস্থান ভেক্টরগুলো একই তলে অবস্থিত নয়। এগুলো একটি ঘনবস্তু (সামান্তরিকীয় স্তূপ) গঠন করে যার আয়তন ৯ ঘন একক।