ID#5905 HSC Physics 1st CQ (Dinajpur 2024)

(ক) অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

(খ) ĵ × k̂ একটি একক ভেক্টর— ব্যাখ্যা কর।
আমরা জানি, ভেক্টর গুণনের নিয়ম অনুযায়ী $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$। এখানে $\hat{i}$ হলো x-অক্ষ বরাবর একটি আয়ত একক ভেক্টর। যেহেতু একক ভেক্টরের মান সর্বদা ১ একক ($\left|\hat{i}\right| = 1$), তাই $\hat{j} \times \hat{k}$ এর লব্ধি একটি একক ভেক্টর। এটি y ও z অক্ষের ওপর লম্বভাবে অবস্থিত।

(গ) a এর মান কত হলে r⃗ ভেক্টরের ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল হবে নির্ণয় কর।
ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{r}$ সলিনয়ডাল হবে যদি এর ডাইভারজেন্স শূন্য হয়।
অর্থাৎ, $\nabla \cdot \vec{r} = 0$
এখানে, $\vec{r} = ax\hat{i} + y\hat{j} + 2\hat{k}$
$\nabla \cdot \vec{r} = (\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}) \cdot (ax\hat{i} + y\hat{j} + 2\hat{k})$
বা, $\frac{\partial}{\partial x}(ax) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(2) = 0$
বা, $a + 1 + 0 = 0$
বা, $a = -1$
$\therefore$ a এর মান -1 হলে ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়ডাল হবে।

(ঘ) P⃗ × Q⃗ ভেক্টর ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল না অঘূর্ণনশীল— গাণিতিক বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।
প্রথমে $\vec{P} \times \vec{Q}$ নির্ণয় করি:
$\vec{P} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{Q} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$

$\vec{A} = \vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 4 & -1 \end{vmatrix}$
বা, $\vec{A} = \hat{i}(-3-16) - \hat{j}(-2-16) + \hat{k}(8-12)$
বা, $\vec{A} = -19\hat{i} + 18\hat{j} - 4\hat{k}$

এখন এই ভেক্টর ক্ষেত্রটি ঘূর্ণনশীল কি-না তা যাচাই করতে এর কার্ল ($\nabla \times \vec{A}$) নির্ণয় করতে হবে।
$\nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -19 & 18 & -4 \end{vmatrix}$
বা, $\nabla \times \vec{A} = \hat{i}[\frac{\partial}{\partial y}(-4) - \frac{\partial}{\partial z}(18)] - \hat{j}[\frac{\partial}{\partial x}(-4) - \frac{\partial}{\partial z}(-19)] + \hat{k}[\frac{\partial}{\partial x}(18) - \frac{\partial}{\partial y}(-19)]$
বা, $\nabla \times \vec{A} = \hat{i}(0-0) - \hat{j}(0-0) + \hat{k}(0-0) = 0$

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:
যেহেতু $\vec{P} \times \vec{Q}$ এর কার্ল শূন্য হয়েছে, তাই ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল। কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল শূন্য হলে সেটি অঘূর্ণনশীল ও সংরক্ষণশীল হয়।