ID#5908 HSC Physics 1st CQ (Mymensingh 2024)

(ক) অবস্থান ভেক্টর কাকে বলে?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

(খ) তিনটি ভেক্টরের লব্ধি কখন শূন্য হবে? ব্যাখ্যা কর।
তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে হলে প্রথমত ভেক্টর তিনটিকে একই সমতলে অবস্থান করতে হবে। দ্বিতীয়ত, ভেক্টর তিনটিকে যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে প্রকাশ করা যায়, তবে তাদের লব্ধি শূন্য হবে। গাণিতিকভাবে, যে কোনো দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান তৃতীয় ভেক্টরের মানের সমান এবং দিক তার বিপরীত হতে হবে।

(গ) উদ্দীপকের 'x' এর মান নির্ণয় কর।
আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়।
এখানে, $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}$ এবং $\vec{u} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$
শর্তানুসারে, $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$
বা, $(2 \times 3) + (3 \times 2) + (-x \times 2) = 0$
বা, $6 + 6 - 2x = 0$
বা, $12 - 2x = 0$
বা, $2x = 12$
বা, $x = 6$
$\therefore$ 'x' এর মান 6।

(ঘ) নূন্যতম সময়ে নদী পার হতে হলে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে কি-না—গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
প্রথমে আমরা ভেক্টরদ্বয়ের মান থেকে নৌকার বেগ ($v$) ও স্রোতের বেগ ($u$) নির্ণয় করি।
নৌকার বেগ, $v = |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ unit
স্রোতের বেগ, $u = |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \approx 4.123$ unit

সর্বনিম্ন পথে (সোজাসুজি) নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে:
সময়, $t = 4$ min = $240$ s
লব্ধি বেগ, $w = \sqrt{v^2 - u^2} = \sqrt{7^2 - (\sqrt{17})^2} = \sqrt{49 - 17} = \sqrt{32} \approx 5.657$ unit/s
নদীর প্রস্থ, $d = w \times t = 5.657 \times 240 \approx 1357.68$ unit

নূন্যতম সময়ে নদী পার হওয়ার ক্ষেত্রে:
নূন্যতম সময়ে নদী পার হতে হলে নৌকাকে স্রোতের সাথে $90^\circ$ কোণে চালাতে হয়।
এক্ষেত্রে লব্ধি বেগ, $w' = \sqrt{v^2 + u^2} = \sqrt{7^2 + (\sqrt{17})^2} = \sqrt{49 + 17} = \sqrt{66} \approx 8.124$ unit/s
পার হওয়ার সময়, $t_{min} = \frac{d}{v} = \frac{1357.68}{7} \approx 193.95$ s
অতিক্রান্ত দূরত্ব (পথের দৈর্ঘ্য), $S = w' \times t_{min}$
বা, $S = 8.124 \times 193.95 \approx 1575.65$ unit

গাণিতিক বিশ্লেষণ:
হিসাব থেকে দেখা যায় যে, নদীর প্রস্থ $d \approx 1357.68$ unit এবং নূন্যতম সময়ে নদী পার হতে অতিক্রান্ত দূরত্ব $S \approx 1575.65$ unit। যেহেতু $S > d$, তাই নূন্যতম সময়ে নদী পার হতে হলে মাঝিকে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে।