ID#5909 HSC Physics 1st CQ (Mymensingh 2024)

(ক) চক্রগতির ব্যাসার্ধ কী?
কোনো দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পুঞ্জীভূত করা হয়, যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ওই পুঞ্জীভূত ভরের জড়তার ভ্রামক, সমগ্র বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তবে ওই বিন্দু থেকে অক্ষের লম্ব দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলে।

(খ) রাস্তার বাঁকের ভিতরের প্রান্ত থেকে বাইরের প্রান্ত উঁচু হয় কেন?
রাস্তার বাঁক নেওয়ার সময় একটি চলন্ত গাড়িকে বৃত্তাকার পথে ঘোরার জন্য কেন্দ্রমুখী বলের প্রয়োজন হয়। সমতল রাস্তায় চাকার ঘর্ষণ বল এই কেন্দ্রমুখী বল যোগান দিতে অনেক সময় ব্যর্থ হয়, যা দুর্ঘটনার কারণ হতে পারে। রাস্তার বাইরের প্রান্ত ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা উঁচু (ব্যাংকিং) করলে গাড়ির ওজনের একটি উপাংশ প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল যোগান দেয়। ফলে গাড়িটি পিছলে না গিয়ে উচ্চ বেগেও নিরাপদে বাঁক নিতে পারে। এই কারণেই রাস্তার বাঁকে বাইরের প্রান্ত উঁচু করা হয়।

(গ) ১ম ক্ষেত্রে কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় কর।
এখানে,
বস্তুর ভর, m = 200 gm = 0.2 kg
অবস্থান ভেক্টর, $\vec{r_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
দূরত্ব (ব্যাসার্ধ), $r = |\vec{r_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$ m
কৌণিক বেগ, $\omega = \frac{2\pi n}{t} = \frac{2 \times \pi \times 60}{60} = 2\pi$ rad/s

আমরা জানি, জড়তার ভ্রামক $I = mr^2 = 0.2 \times (\sqrt{14})^2 = 2.8$ kg m$^2$
$\therefore$ কৌণিক ভরবেগ, $L = I\omega$
বা, $L = 2.8 \times 2\pi$
বা, $L \approx 17.59$ kg m$^2$ s$^{-1}$
$\therefore$ ১ম ক্ষেত্রে কৌণিক ভরবেগ ১৭.৫৯ kg m$^2$ s$^{-1}$।

(ঘ) উদ্দীপকের দুটি অবস্থানে টর্ক সমান হবে কি-না—গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
টর্ক হলো ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং বলের ভেক্টর গুণফল, $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$।

এখানে, বল $\vec{F} = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$

১ম ক্ষেত্রে টর্ক ($\vec{\tau_1}$):
$\vec{r_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{\tau_1} = \vec{r_1} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 5 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
বা, $\vec{\tau_1} = \hat{i}(-6+4) - \hat{j}(-9+5) + \hat{k}(12-10)$
বা, $\vec{\tau_1} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$
মান, $|\vec{\tau_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} \approx 4.9$ Nm

২য় ক্ষেত্রে টর্ক ($\vec{\tau_2}$):
$\vec{r_2} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{\tau_2} = \vec{r_2} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 2 & -3 \\ 5 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
বা, $\vec{\tau_2} = \hat{i}(-6+12) - \hat{j}(-12+15) + \hat{k}(16-10)$
বা, $\vec{\tau_2} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$
মান, $|\vec{\tau_2}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = 9$ Nm

গাণিতিক বিশ্লেষণ:
হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, ১ম অবস্থানে টর্কের মান ৪.৯ Nm এবং ২য় অবস্থানে টর্কের মান ৯ Nm। যেহেতু $\vec{\tau_1} \neq \vec{\tau_2}$, তাই দুটি অবস্থানে টর্ক সমান হবে না।