ID#5915 HSC Physics 1st CQ (Mymensingh 2024)
MS Word Writing Guide
১.
প্রথমে উপরের COPY বাটনে ক্লিক করুন।
২.
MS Word-এ গিয়ে Ctrl + V দিয়ে পেস্ট করুন।
৩.
সমীকরণটি সিলেক্ট করে কিবোর্ডে Alt + = চাপুন।
Shortcut: Alt and equal key
৪.
এরপর ডানদিকের ড্রপডাউন থেকে Professional সিলেক্ট করলেই গণিত সুন্দর দেখাবে।
$\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$ এবং $\vec{C} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ ভেক্টর তিনটি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু নির্দেশ করে।
ক) পরম আর্দ্রতা কী?
খ) দেখাও যে, $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
গ) $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
ঘ) উদ্দীপকে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে কিনা—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
ব্যাখ্যা
(ক) পরম আর্দ্রতা কী?
কোনো নির্দিষ্ট সময়ে বায়ুর একক আয়তনে উপস্থিত জলীয় বাষ্পের মোট ভরকে ওই স্থানের বায়ুর পরম আর্দ্রতা বলে।
(খ) দেখাও যে, î × ĵ = k̂
আমরা জানি, ভেক্টর গুণনের সংজ্ঞা অনুসারে, $\hat{i} \times \hat{j} = |\hat{i}| |\hat{j}| \sin\theta \hat{\eta}$।
এখানে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 90^\circ$ এবং এদের মান ১ একক।
$\therefore \hat{i} \times \hat{j} = (1)(1) \sin 90^\circ \hat{k} = 1 \times 1 \times 1 \hat{k} = \hat{k}$ [যেহেতু ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুসারে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ এর লম্বদিকে একক ভেক্টর হলো $\hat{k}$]।
(গ) A⃗ এবং B⃗ কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
এখানে, $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের ভেক্টর গুণফল:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -1 & 5 \end{vmatrix}$
বা, $\vec{A} \times \vec{B} = \hat{i}(-15+1) - \hat{j}(10-3) + \hat{k}(-2+9)$
বা, $\vec{A} \times \vec{B} = -14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $|\vec{A} \times \vec{B}|$
বা, $Area = \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2 + 7^2}$
বা, $Area = \sqrt{196 + 49 + 49} = \sqrt{294} \approx 17.146$ বর্গ একক।
(ঘ) উদ্দীপকে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে কিনা—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
একটি ত্রিভুজ সমকোণী হবে যদি এর যে কোনো দুটি বাহুর ডট গুণফল শূন্য হয় (অর্থাৎ বাহুদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়)।
এখানে বাহুত্রয়:
$\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{C} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$
ডট গুণফল পরীক্ষা:
১. $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times 3) + (-3 \times -1) + (1 \times 5) = 6 + 3 + 5 = 14 \neq 0$
২. $\vec{B} \cdot \vec{C} = (3 \times 3) + (-1 \times 2) + (5 \times -4) = 9 - 2 - 20 = -13 \neq 0$
৩. $\vec{A} \cdot \vec{C} = (2 \times 3) + (-3 \times 2) + (1 \times -4) = 6 - 6 - 4 = -4 \neq 0$
গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:
হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, কোনো দুটি বাহুর ডট গুণফলই শূন্য নয়। অর্থাৎ এই ত্রিভুজের কোনো দুটি বাহুই পরস্পরের ওপর লম্ব নয়। সুতরাং, উদ্দীপকের ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।
কোনো নির্দিষ্ট সময়ে বায়ুর একক আয়তনে উপস্থিত জলীয় বাষ্পের মোট ভরকে ওই স্থানের বায়ুর পরম আর্দ্রতা বলে।
(খ) দেখাও যে, î × ĵ = k̂
আমরা জানি, ভেক্টর গুণনের সংজ্ঞা অনুসারে, $\hat{i} \times \hat{j} = |\hat{i}| |\hat{j}| \sin\theta \hat{\eta}$।
এখানে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta = 90^\circ$ এবং এদের মান ১ একক।
$\therefore \hat{i} \times \hat{j} = (1)(1) \sin 90^\circ \hat{k} = 1 \times 1 \times 1 \hat{k} = \hat{k}$ [যেহেতু ডানহাতি স্ক্রু নিয়ম অনুসারে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ এর লম্বদিকে একক ভেক্টর হলো $\hat{k}$]।
(গ) A⃗ এবং B⃗ কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
এখানে, $\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের ভেক্টর গুণফল:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -1 & 5 \end{vmatrix}$
বা, $\vec{A} \times \vec{B} = \hat{i}(-15+1) - \hat{j}(10-3) + \hat{k}(-2+9)$
বা, $\vec{A} \times \vec{B} = -14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $|\vec{A} \times \vec{B}|$
বা, $Area = \sqrt{(-14)^2 + (-7)^2 + 7^2}$
বা, $Area = \sqrt{196 + 49 + 49} = \sqrt{294} \approx 17.146$ বর্গ একক।
(ঘ) উদ্দীপকে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে কিনা—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
একটি ত্রিভুজ সমকোণী হবে যদি এর যে কোনো দুটি বাহুর ডট গুণফল শূন্য হয় (অর্থাৎ বাহুদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়)।
এখানে বাহুত্রয়:
$\vec{A} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{C} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$
ডট গুণফল পরীক্ষা:
১. $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times 3) + (-3 \times -1) + (1 \times 5) = 6 + 3 + 5 = 14 \neq 0$
২. $\vec{B} \cdot \vec{C} = (3 \times 3) + (-1 \times 2) + (5 \times -4) = 9 - 2 - 20 = -13 \neq 0$
৩. $\vec{A} \cdot \vec{C} = (2 \times 3) + (-3 \times 2) + (1 \times -4) = 6 - 6 - 4 = -4 \neq 0$
গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:
হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, কোনো দুটি বাহুর ডট গুণফলই শূন্য নয়। অর্থাৎ এই ত্রিভুজের কোনো দুটি বাহুই পরস্পরের ওপর লম্ব নয়। সুতরাং, উদ্দীপকের ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।
Resource Details
| Exam | HSC |
| Subject | Physics 1st paper |
| Chapter | 2 |
| Board | Mymensingh |
| Year | 2024 |
Discussion — HSC Physics 1st CQ (Mymensingh 2024)
No discussion yet. Be the first to post a comment!