ID#6133 HSC Higher Math 2nd CQ (Dhaka 2025)

ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $Z = \frac{i}{1 + i}$
আমরা জানি, $|\frac{Z_{1}}{Z_{2}}| = \frac{|Z_{1}|}{|Z_{2}|}$
$\therefore |Z| = \frac{|i|}{|1 + i|} = \frac{\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
সুতরাং, নির্ণেয় মডুলাস $\frac{1}{\sqrt{2}}$।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $z = x + iy$
শর্তমতে, $|3(x + iy) + 1| = |(x + iy) - 3i|$
বা, $|(3x + 1) + i(3y)| = |x + i(y - 3)|$
বা, $\sqrt{(3x + 1)^{2} + (3y)^{2}} = \sqrt{x^{2} + (y - 3)^{2}}$
বা, $(3x + 1)^{2} + 9y^{2} = x^{2} + (y - 3)^{2}$ [বর্গ করে]
বা, $9x^{2} + 6x + 1 + 9y^{2} = x^{2} + y^{2} - 6y + 9$
বা, $8x^{2} + 8y^{2} + 6x + 6y - 8 = 0$
বা, $4x^{2} + 4y^{2} + 3x + 3y - 4 = 0$
এটিই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ (একটি বৃত্ত)।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $z = \sqrt[3]{3 + 5i}$ এবং $z = x + iy$
$\therefore x + iy = \sqrt[3]{3 + 5i}$
বা, $(x + iy)^{3} = 3 + 5i$
বা, $x^{3} + 3x^{2}(iy) + 3x(iy)^{2} + (iy)^{3} = 3 + 5i$
বা, $x^{3} + i3x^{2}y - 3xy^{2} - iy^{3} = 3 + 5i$
বা, $(x^{3} - 3xy^{2}) + i(3x^{2}y - y^{3}) = 3 + 5i$

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই:
$x^{3} - 3xy^{2} = 3 \implies x(x^{2} - 3y^{2}) = 3 \implies \frac{3}{x} = x^{2} - 3y^{2}$ --- (i)
$3x^{2}y - y^{3} = 5 \implies y(3x^{2} - y^{2}) = 5 \implies \frac{5}{y} = 3x^{2} - y^{2}$ --- (ii)

এখন, $\frac{3}{4x} + \frac{5}{4y} = \frac{1}{4} (\frac{3}{x} + \frac{5}{y})$
$= \frac{1}{4} (x^{2} - 3y^{2} + 3x^{2} - y^{2})$ [ (i) ও (ii) হতে মান বসিয়ে ]
$= \frac{1}{4} (4x^{2} - 4y^{2}) = \frac{4(x^{2} - y^{2})}{4} = x^{2} - y^{2}$

বিঃদ্রঃ আপনার প্রশ্নে $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ প্রমাণ করতে বলা হয়েছে, কিন্তু গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী এটি $x^{2} - y^{2}$ হবে। সঠিক প্রমাণটি উপরে দেখানো হলো।