ID#6135 HSC Higher Math 2nd CQ (Dhaka 2025)

ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $e^{2x} + 5e^{x} + 3 = 0$
ধরি, $e^{x} = a$; তাহলে সমীকরণটি হয়: $a^{2} + 5a + 3 = 0$
যেহেতু মূলদ্বয় $x_{1}$ ও $x_{2}$, তাই $a$-এর মূলদ্বয় হবে $e^{x_{1}}$ ও $e^{x_{2}}$।
মূলদ্বয়ের গুণফল, $e^{x_{1}} \cdot e^{x_{2}} = \frac{3}{1}$
বা, $e^{x_{1} + x_{2}} = 3$
উভয়পক্ষে $\ln$ নিয়ে পাই,
$\ln(e^{x_{1} + x_{2}}) = \ln 3$
$\therefore x_{1} + x_{2} = \ln 3$ (দেখানো হলো)

খ-এর উত্তর:
উদ্দীপকের সমীকরণ: $3x^{2} - 7x + 2 = 0$
এর মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে, $\alpha + \beta = \frac{7}{3}$ এবং $\alpha\beta = \frac{2}{3}$।
আবার, প্রদত্ত সমীকরণ: $2x^{2} + 14x + 12 = 0$
বা, $x^{2} + 7x + 6 = 0$ [2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, $x^{2} + 3(\frac{7}{3})x + 9(\frac{2}{3}) = 0$
বা, $x^{2} + 3(\alpha + \beta)x + 9\alpha\beta = 0$
বা, $x^{2} + 3\alpha x + 3\beta x + 9\alpha\beta = 0$
বা, $x(x + 3\alpha) + 3\beta(x + 3\alpha) = 0$
বা, $(x + 3\alpha)(x + 3\beta) = 0$
$\therefore x = -3\alpha, -3\beta$
সুতরাং, মূল দুটি $\alpha$ ও $\beta$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করলে হয় $-3\alpha$ এবং $-3\beta$।

গ-এর উত্তর:
আমরা জানি, $\alpha + \beta = \frac{7}{3}$ এবং $\alpha\beta = \frac{2}{3}$।
প্রদত্ত রাশি = $(2 + \alpha + \alpha^{2})(2 + \beta + \beta^{2})$
$= 4 + 2\beta + 2\beta^{2} + 2\alpha + \alpha\beta + \alpha\beta^{2} + 2\alpha^{2} + \alpha^{2}\beta + \alpha^{2}\beta^{2}$
$= 4 + 2(\alpha + \beta) + 2(\alpha^{2} + \beta^{2}) + \alpha\beta + \alpha\beta(\beta + \alpha) + (\alpha\beta)^{2}$
$= 4 + 2(\alpha + \beta) + 2\{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta\} + \alpha\beta + \alpha\beta(\alpha + \beta) + (\alpha\beta)^{2}$

এখন মান বসিয়ে পাই:
$= 4 + 2(\frac{7}{3}) + 2\{(\frac{7}{3})^{2} - 2(\frac{2}{3})\} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}(\frac{7}{3}) + (\frac{2}{3})^{2}$
$= 4 + \frac{14}{3} + 2\{\frac{49}{9} - \frac{4}{3}\} + \frac{2}{3} + \frac{14}{9} + \frac{4}{9}$
$= 4 + \frac{14}{3} + 2\{\frac{49 - 12}{9}\} + \frac{2}{3} + \frac{18}{9}$
$= 4 + \frac{16}{3} + \frac{74}{9} + 2$
$= 6 + \frac{48 + 74}{9}$
$= 6 + \frac{122}{9} = \frac{54 + 122}{9} = \frac{176}{9}$

$\therefore$ নির্ণেয় মান $\frac{176}{9}$।