ID#6138 HSC Higher Math 2nd CQ (Dhaka 2025)

ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, বৃহত্তর বল $P = 15 N$, ক্ষুদ্রতর বল $Q = 10 N$ এবং রডের দৈর্ঘ্য $AB = 5 m$।
ধরি, বৃহত্তর বল হতে লব্ধির দূরত্ব $AC = x$। তাহলে ক্ষুদ্রতর বল হতে দূরত্ব $BC = (5 - x)$।

সদৃশ সমান্তরাল বলের সূত্রানুসারে,
$P \times AC = Q \times BC$
বা, $15 \times x = 10 \times (5 - x)$
বা, $15x = 50 - 10x$
বা, $25x = 50$
বা, $x = 2 m$

সুতরাং, বৃহত্তর বল হতে লব্ধি $2 m$ দূরে ক্রিয়া করবে।

খ-এর উত্তর:
ধরি, $P_{1}$ বলটি x-অক্ষ বরাবর ক্রিয়াশীল। তাহলে বলগুলোর দিক হবে:
$P_{1}$ এর দিক $= 0$
$P_{2}$ এর দিক $= \gamma$ (যেহেতু $P_{1}$ ও $P_{2}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\gamma$)
$P_{3}$ এর দিক $= 360^\circ - \beta$ বা $-\beta$ (যেহেতু $P_{3}$ ও $P_{1}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\beta$)

বলগুলোর অনুভূমিক উপাংশ, $X = P_{1} \cos 0 + P_{2} \cos \gamma + P_{3} \cos (-\beta) = P_{1} + P_{2} \cos \gamma + P_{3} \cos \beta$
বলগুলোর উলম্ব উপাংশ, $Y = P_{1} \sin 0 + P_{2} \sin \gamma + P_{3} \sin (-\beta) = P_{2} \sin \gamma - P_{3} \sin \beta$

লব্ধি $R = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}$
$R^{2} = (P_{1} + P_{2} \cos \gamma + P_{3} \cos \beta)^{2} + (P_{2} \sin \gamma - P_{3} \sin \beta)^{2}$
$= P_{1}^{2} + P_{2}^{2} \cos^{2} \gamma + P_{3}^{2} \cos^{2} \beta + 2P_{1}P_{2} \cos \gamma + 2P_{2}P_{3} \cos \gamma \cos \beta + 2P_{3}P_{1} \cos \beta + P_{2}^{2} \sin^{2} \gamma + P_{3}^{2} \sin^{2} \beta - 2P_{2}P_{3} \sin \gamma \sin \beta$
$= P_{1}^{2} + P_{2}^{2}(\cos^{2} \gamma + \sin^{2} \gamma) + P_{3}^{2}(\cos^{2} \beta + \sin^{2} \beta) + 2P_{1}P_{2} \cos \gamma + 2P_{3}P_{1} \cos \beta + 2P_{2}P_{3}(\cos \gamma \cos \beta - \sin \gamma \sin \beta)$
$= P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2} + 2P_{1}P_{2} \cos \gamma + 2P_{3}P_{1} \cos \beta + 2P_{2}P_{3} \cos(\gamma + \beta)$

আমরা জানি, একতলীয় বলের ক্ষেত্রে $\alpha + \beta + \gamma = 360^\circ$, সুতরাং $\cos(\gamma + \beta) = \cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha$।
$\therefore R = [P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2} + 2P_{2}P_{3} \cos \alpha + 2P_{3}P_{1} \cos \beta + 2P_{1}P_{2} \cos \gamma]^{1/2}$ (দেখানো হলো)

গ-এর উত্তর:
লামীর উপপাদ্য অনুসারে, তিনটি সমতলীয় বল কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করলে প্রতিটি বলের মান অপর দুই বলের মধ্যবর্তী কোণের sine-এর সমানুপাতিক।

উদ্দীপক অনুসারে:
$P_{1}$ বলের বিপরীতে (অর্থাৎ $P_{2}$ ও $P_{3}$ এর মধ্যবর্তী) কোণ $= \alpha$
$P_{2}$ বলের বিপরীতে (অর্থাৎ $P_{3}$ ও $P_{1}$ এর মধ্যবর্তী) কোণ $= \beta$
$P_{3}$ বলের বিপরীতে (অর্থাৎ $P_{1}$ ও $P_{2}$ এর মধ্যবর্তী) কোণ $= \gamma$

লামীর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
$\frac{P_{1}}{\sin(\text{\angle between } P_{2}, P_{3})} = \frac{P_{2}}{\sin(\text{\angle between } P_{3}, P_{1})} = \frac{P_{3}}{\sin(\text{\angle between } P_{1}, P_{2})}$
বা, $\frac{P_{1}}{\sin \alpha} = \frac{P_{2}}{\sin \beta} = \frac{P_{3}}{\sin \gamma}$ (প্রমাণিত)