ID#6140 HSC Higher Math 2nd CQ (Dhaka 2025)

ক-এর উত্তর:
এখানে, প্রাসের আদিবেগ $v = 36 ms^{-1}$ এবং প্রক্ষেপণ কোণ $\theta = 60^\circ$।
প্রাসের সর্বাধিক উচ্চতা, $H = \frac{v^{2} \sin^{2} \theta}{2g} = \frac{36^{2} \times \sin^{2} 60^\circ}{2g} = \frac{1296 \times 0.75}{2g} = \frac{486}{g}$

ধরি, খাড়া উপরের দিকে $u$ বেগে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা $h$।
আমরা জানি, $h = \frac{u^{2}}{2g}$
শর্তমতে, $h = H$
বা, $\frac{u^{2}}{2g} = \frac{486}{g}$
বা, $u^{2} = 972$
বা, $u = \sqrt{972} \approx 31.18 ms^{-1}$

সুতরাং, $31.18 ms^{-1}$ বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করতে হবে।

খ-এর উত্তর:
ধরি, ২য় ট্রেনের বেগ $v_{2} = v$ কি.মি./ঘন্টা।
তাহলে ১ম ট্রেনের বেগ $v_{1} = 3v$ কি.মি./ঘন্টা।
পরস্পরকে অতিক্রম করার সময় আপেক্ষিক বেগ (বিপরীত দিকে ধরে), $V = v_{1} + v_{2} = 4v$
অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব $D = 500 m + 700 m = 1200 m = 1.2 km$
সময় $t = 15 s = \frac{15}{3600} hr = \frac{1}{240} hr$

আমরা জানি, $D = V \times t$
বা, $1.2 = 4v \times \frac{1}{240}$
বা, $1.2 = \frac{v}{60}$
বা, $v = 72 km/h$

$\therefore$ ১ম ট্রেনের গতিবেগ $v_{1} = 3 \times 72 = 216 km/h$।
(যদি একই দিকে অতিক্রম করে তবে আপেক্ষিক বেগ $2v$ হত এবং সেক্ষেত্রে বেগ ভিন্ন আসত; সাধারণত ট্রেন 'পরস্পরকে অতিক্রম' করা বলতে বিপরীত দিক বোঝানো হয়)।

গ-এর উত্তর:
আমরা জানি, স্থির ত্বরণ $a$ এবং আদিবেগ $u_{0}$ হলে:
$S_{t} = u_{0}t + \frac{1}{2}at^{2} \implies \frac{S_{t}}{t} = u_{0} + \frac{1}{2}at$
$u_{t} = u_{0} + at$

বামপক্ষ: $\frac{S_{t+1}}{t+1} - \frac{2S_{t}}{t} + \frac{S_{t-1}}{t-1}$
$= (u_{0} + \frac{1}{2}a(t+1)) - 2(u_{0} + \frac{1}{2}at) + (u_{0} + \frac{1}{2}a(t-1))$
$= u_{0} + \frac{1}{2}at + \frac{1}{2}a - 2u_{0} - at + u_{0} + \frac{1}{2}at - \frac{1}{2}a$
$= 0$

ডানপক্ষ: $u_{t+1} - 2u_{t} + u_{t-1}$
$= (u_{0} + a(t+1)) - 2(u_{0} + at) + (u_{0} + a(t-1))$
$= u_{0} + at + a - 2u_{0} - 2at + u_{0} + at - a$
$= 0$

$\therefore \frac{S_{t+1}}{t+1} - \frac{2S_{t}}{t} + \frac{S_{t-1}}{t-1} = u_{t+1} - 2u_{t} + u_{t-1}$ (প্রমাণিত)