ID#6141 HSC Higher Math 2nd CQ (Jessore 2025)

ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $z = -2 - 2\sqrt{3}i$
এখানে $z$ জটিল রাশিটি ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
$\therefore Arg(z) = -\pi + \tan^{-1}|\frac{-2\sqrt{3}}{-2}| = -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$
আমরা জানি, $Arg(\sqrt{z}) = \frac{1}{2} Arg(z)$
$\therefore Arg(\sqrt{z}) = \frac{1}{2} \times (-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3}$

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $z_{1} = 1 - ix$, $\bar{z}_{1} = 1 + ix$ এবং $z_{2} = a - ib$
শর্তমতে, $z_{1} = \bar{z}_{1} z_{2}$
বা, $1 - ix = (1 + ix)(a - ib)$
বা, $1 - ix = a - ib + iax + bx$
বা, $1 - ix = (a + bx) + i(ax - b)$

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই:
$1 = a + bx \implies bx = 1 - a \implies x = \frac{1-a}{b}$ --- (i)
$-x = ax - b \implies b = x(a + 1) \implies x = \frac{b}{1+a}$ --- (ii)

(i) ও (ii) হতে পাই, $\frac{1-a}{b} = \frac{b}{1+a}$
বা, $1 - a^{2} = b^{2}$
বা, $a^{2} + b^{2} = 1$
যেহেতু উদ্দীপকে $a^{2} + b^{2} = 1$ দেওয়া আছে, তাই $x = \frac{b}{1+a}$ সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। যেহেতু $a, b$ বাস্তব, তাই $x$ এর মানও বাস্তব হবে। (দেখানো হলো)

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $z = -2 - 2\sqrt{3}i$
$\therefore \frac{z}{4} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}i}{4} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega^{2}$ [যেখানে $\omega$ এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল]
এবং $\overline{(\frac{z}{4})} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega$

বামপক্ষ = $(\frac{z}{4})^{m} + (\overline{\frac{z}{4}})^{m} = (\omega^{2})^{m} + \omega^{m} = \omega^{2m} + \omega^{m}$

কেস-১: যদি $m = 3k$ (অর্থাৎ ৩ দ্বারা বিভাজ্য) হয়:
$\omega^{2(3k)} + \omega^{3k} = (\omega^{3})^{2k} + (\omega^{3})^{k} = 1^{2k} + 1^{k} = 1 + 1 = 2$

কেস-২: যদি $m = 3k+1$ হয়:
$\omega^{2(3k+1)} + \omega^{3k+1} = \omega^{6k+2} + \omega^{3k+1} = \omega^{2} + \omega = -1$ [যেহেতু $1+\omega+\omega^{2}=0$]

কেস-৩: যদি $m = 3k+2$ হয়:
$\omega^{2(3k+2)} + \omega^{3k+2} = \omega^{6k+4} + \omega^{3k+2} = \omega^{4} + \omega^{2} = \omega + \omega^{2} = -1$

$\therefore$ প্রমাণিত হলো যে, যোগফল ২ হবে যখন $m$ ৩ দ্বারা বিভাজ্য এবং -১ হবে অন্য সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য।