ID#6142 HSC Higher Math 2nd CQ (Jessore 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $3x^{2} - mx + 25 = 0$
ধরি, মূল দুটি $\alpha$ এবং $3\alpha$।
মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + 3\alpha = \frac{-(-m)}{3} \implies 4\alpha = \frac{m}{3} \implies \alpha = \frac{m}{12}$ --- (i)
মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot 3\alpha = \frac{25}{3} \implies 3\alpha^{2} = \frac{25}{3} \implies \alpha^{2} = \frac{25}{9} \implies \alpha = \pm\frac{5}{3}$ --- (ii)

(i) ও (ii) হতে পাই, $\frac{m}{12} = \pm\frac{5}{3} \implies m = \pm\frac{5 \times 12}{3} = \pm 20$
$\therefore m = \pm 20$

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $x^{3} + qx + r = 0$ সমীকরণের মূলগুলো $\alpha, \beta, \gamma$।
$\therefore \alpha + \beta + \gamma = 0 \implies \beta + \gamma = -\alpha$ --- (i)
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$ --- (ii)
$\alpha\beta\gamma = -r \implies \beta\gamma = -\frac{r}{\alpha}$ --- (iii)

বামপক্ষ = $(\beta - \gamma)^{2} = (\beta + \gamma)^{2} - 4\beta\gamma$
$= (-\alpha)^{2} - 4(-\frac{r}{\alpha})$ [(i) ও (iii) হতে]
$= \alpha^{2} + \frac{4r}{\alpha} = \frac{\alpha^{3} + 4r}{\alpha}$

আবার, $\alpha$ সমীকরণটির একটি মূল হওয়ায়, $\alpha^{3} + q\alpha + r = 0 \implies \alpha^{3} = -q\alpha - r$
$\therefore \frac{\alpha^{3} + 4r}{\alpha} = \frac{-q\alpha - r + 4r}{\alpha} = \frac{3r - q\alpha}{\alpha}$ (দেখানো হলো)

গ-এর উত্তর:
নির্ণেয় সমীকরণের মূলগুলো হলো $\frac{\beta + \gamma}{\alpha^{3}}, \frac{\gamma + \alpha}{\beta^{3}}, \frac{\alpha + \beta}{\gamma^{3}}$
আমরা জানি, $\alpha + \beta + \gamma = 0 \implies \beta + \gamma = -\alpha$
$\therefore$ প্রথম মূলটি $y = \frac{-\alpha}{\alpha^{3}} = -\frac{1}{\alpha^{2}}$
বা, $\alpha^{2} = -\frac{1}{y} \implies \alpha = \sqrt{-\frac{1}{y}}$

যেহেতু $\alpha$ মূল সমীকরণ $x^{3} + qx + r = 0$ এর একটি মূল, তাই:
$\alpha^{3} + q\alpha + r = 0$
বা, $\alpha(\alpha^{2} + q) = -r$
বা, $\alpha^{2}(\alpha^{2} + q)^{2} = (-r)^{2}$ [বর্গ করে]
বা, $(-\frac{1}{y})(-\frac{1}{y} + q)^{2} = r^{2}$
বা, $(-\frac{1}{y})(\frac{qy - 1}{y})^{2} = r^{2}$
বা, $-(qy - 1)^{2} = r^{2}y^{3}$
বা, $r^{2}y^{3} + (qy - 1)^{2} = 0$
বা, $r^{2}y^{3} + q^{2}y^{2} - 2qy + 1 = 0$

চলক পরিবর্তন করলে নির্ণেয় সমীকরণ: $r^{2}x^{3} + q^{2}x^{2} - 2qx + 1 = 0$