ID#6144 HSC Higher Math 2nd CQ (Jessore 2025)

ক-এর উত্তর:
ধরি, $\cos^{-1} x = \theta$
$\therefore x = \cos \theta$

ডানপক্ষ = $\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}}$
$= \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}$
$= \cos^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^{2} (\theta/2)}{2}}$ [যেহেতু $1+\cos \theta = 2 \cos^{2} (\theta/2)$]
$= \cos^{-1} (\cos \frac{\theta}{2})$
$= \frac{1}{2} \theta$
$= \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ = বামপক্ষ (প্রমাণিত)

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = \cos x$
$\therefore P = f(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$
এবং $Q = f(2\theta) = \cos 2\theta$

বামপক্ষ = $\sin^{-1} (\sqrt{2P}) + \sin^{-1} (\sqrt{Q})$
$= \sin^{-1} (\sqrt{2 \sin \theta}) + \sin^{-1} (\sqrt{\cos 2\theta})$
ধরি, $\sin^{-1} (\sqrt{2 \sin \theta}) = A \implies \sin^{2} A = 2 \sin \theta$
এবং $\sin^{-1} (\sqrt{\cos 2\theta}) = B \implies \sin^{2} B = \cos 2\theta = 1 - 2 \sin^{2} \theta$

বিঃদ্রঃ উদ্দীপকের টাইপিং অনুযায়ী $P = \sin \theta$ হলে রুটের ভেতর $2P$ থাকলে এটি আদর্শ প্রমাণ গঠন করে না। যদি উদ্দীপকটি $\sin^{-1} (\sqrt{2} \sin \theta)$ বা অনুরূপ হতো তবে $A+B = \pi/2$ আসত। উদ্দীপকের বর্তমান তথ্যমতে এটি সরাসরি ধ্রুবক $\pi/2$ প্রমাণ করা জটিল। তবে আদর্শ গঠন $\sin^{-1}(\sqrt{1-\cos 2\theta})$ হলে এটি সহজেই মিলে যায়।

গ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $4 \cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 3\theta = 1$
বা, $2 \cos 2\theta \cdot (2 \cos 3\theta \cdot \cos \theta) = 1$
বা, $2 \cos 2\theta (\cos 4\theta + \cos 2\theta) = 1$
বা, $2 \cos 4\theta \cdot \cos 2\theta + 2 \cos^{2} 2\theta = 1$
বা, $\cos 6\theta + \cos 2\theta + 1 + \cos 4\theta = 1$
বা, $\cos 6\theta + \cos 4\theta + \cos 2\theta = 0$
বা, $(\cos 6\theta + \cos 2\theta) + \cos 4\theta = 0$
বা, $2 \cos 4\theta \cdot \cos 2\theta + \cos 4\theta = 0$
বা, $\cos 4\theta (2 \cos 2\theta + 1) = 0$

হয়, $\cos 4\theta = 0 \implies 4\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{8}$
$n=0, 1, 2, 3$ এর জন্য সীমার মধ্যে মানগুলো: $\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$

অথবা, $2 \cos 2\theta + 1 = 0 \implies \cos 2\theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$
$\therefore 2\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$n=0, 1$ এর জন্য সীমার মধ্যে মানগুলো: $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $\theta = \{\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{8}\}$