ID#6148 HSC Higher Math 2nd CQ (Jessore 2025)

ক-এর উত্তর:
এখানে, আদিবেগ $u = 0$
ত্বরণ $a = 7 ms^{-2}$
তম সেকেন্ড, $t = 3$

আমরা জানি, $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $S_{t} = u + \frac{1}{2}a(2t - 1)$
বা, $S_{3} = 0 + \frac{1}{2} \times 7 \times (2 \times 3 - 1)$
বা, $S_{3} = 3.5 \times 5 = 17.5 m$

সুতরাং, কণাটি তৃতীয় সেকেন্ডে $17.5 m$ দূরত্ব অতিক্রম করবে।

খ-এর উত্তর:
ধরি, মোটরসাইকেল আরোহী $t$ সময় পর অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে।
মোটরসাইকেল আরোহীর অতিক্রান্ত দূরত্ব, $S_{m} = u_{m}t + \frac{1}{2}a_{m}t^{2} = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times t^{2} = 2.5t^{2}$
অশ্বারোহীর অতিক্রান্ত দূরত্ব, $S_{h} = v_{h}t = 12.5t$

শর্তমতে, মোটরসাইকেল আরোহীকে অশ্বারোহীর আগের $15 m$ দূরত্বসহ মোট পথ অতিক্রম করতে হবে।
$\therefore S_{m} = S_{h} + 15$
বা, $2.5t^{2} = 12.5t + 15$
বা, $t^{2} - 5t - 6 = 0$ [2.5 দ্বারা ভাগ করে]
বা, $(t - 6)(t + 1) = 0$
যেহেতু সময় ঋণাত্মক হয় না, তাই $t = 6 s$।

মোটরসাইকেল আরোহীর অতিক্রান্ত দূরত্ব, $S_{m} = 2.5 \times 6^{2} = 2.5 \times 36 = 90 m$
সুতরাং, মোটরসাইকেল আরোহী $90 m$ দূরে গিয়ে অশ্বারোহীকে ধরতে পারবে।

গ-এর উত্তর:
এখানে, স্তম্ভের উচ্চতা $h = 60 m$
আদিবেগ $u = 100 ms^{-1}$
প্রক্ষেপণ কোণ $\theta = 30^\circ$

উলম্ব দিকের গতির সমীকরণ (নিচের দিক ধনাত্মক ধরে):
$h = -u \sin \theta \cdot t + \frac{1}{2}gt^{2}$
বা, $60 = -100 \sin 30^\circ \cdot t + 4.9t^{2}$
বা, $4.9t^{2} - 50t - 60 = 0$
দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ ব্যবহার করে পাই,
$t = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^{2} - 4 \cdot 4.9 \cdot (-60)}}{2 \cdot 4.9} \approx 11.28 s$ [ধনাত্মক মান নিয়ে]

বস্তুটি স্তম্ভ হতে আনুভূমিক দূরত্বে ভূমিকে আঘাত করবে:
$R = u \cos \theta \cdot t$
বা, $R = 100 \cos 30^\circ \times 11.28$
বা, $R = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 11.28 \approx 976.88 m$

সুতরাং, বস্তুটি স্তম্ভ হতে $976.88 m$ দূরে ভূমিকে আঘাত করবে।