ID#6153 HSC Higher Math 2nd CQ (Barisal 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 = -8y$
একে $x^2 = 4ay$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $4a = -8 \implies a = -2$
আমরা জানি, $x^2 = 4ay$ পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $y + a = 0$
$\therefore y + (-2) = 0$
বা, $y - 2 = 0$
সুতরাং, নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ $y - 2 = 0$।

খ-এর উত্তর:
ধরি, উপকেন্দ্রদ্বয় $R(2, 0)$ এবং $R'(-2, 0)$।
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $2ae = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4 \implies ae = 2$
দেওয়া আছে, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য $2a = 6 \implies a = 3$
$\therefore 3e = 2 \implies e = 2/3$

আমরা জানি, $b^2 = a^2(1 - e^2)$
বা, $b^2 = 3^2(1 - (2/3)^2) = 9(1 - 4/9) = 9 \times 5/9 = 5$
উপবৃত্তটির কেন্দ্র মূলবিন্দুতে $(0, 0)$, তাই সমীকরণটি হবে:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
বা, $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$
$\therefore 5x^2 + 9y^2 = 45$ (এটিই নির্ণেয় সমীকরণ)

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্র অনুযায়ী উপকেন্দ্র $R(2, 0)$ এবং নিয়ামক রেখা (ধরি x-অক্ষের সমান্তরাল বা চিত্রে বর্ণিত নির্দিষ্ট রেখা) $x + 2 = 0$।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP = PM$
বা, $SP^2 = PM^2$
ধরি, পরাবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$।
$\therefore (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = (\frac{x + 2}{\sqrt{1^2 + 0^2}})^2$
বা, $x^2 - 4x + 4 + y^2 = (x + 2)^2$
বা, $x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 4x + 4$
বা, $y^2 = 8x$
এটিই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ। (বিঃদ্রঃ উদ্দীপকের চিত্রের প্রকৃত স্থানাঙ্ক ও রেখা অনুযায়ী মান পরিবর্তিত হতে পারে)।