ID#6158 HSC Higher Math 2nd CQ (Sylhet 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^{2} - px + q = 0$
সমীকরণের মূল বাস্তব হওয়ার শর্ত হলো এর পৃথায়ক $D \geq 0$ হতে হবে।
এখানে, পৃথায়ক $D = (-p)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot q = p^{2} - 4q$
শর্তমতে, $p^{2} - 4q \geq 0$
বা, $p^{2} \geq 4q$
$\therefore$ নির্ণেয় শর্ত: $p^{2} \geq 4q$।

খ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়: $x^{2} + 2x + p = 0$ --- (i) এবং $x^{2} + px + 2 = 0$ --- (ii)
ধরি, সাধারণ মূলটি $\alpha$।
$\therefore \alpha^{2} + 2\alpha + p = 0$
$\alpha^{2} + p\alpha + 2 = 0$
বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$\frac{\alpha^{2}}{4 - p^{2}} = \frac{\alpha}{p - 2} = \frac{1}{p - 2}$
শেষ দুই অনুপাত হতে, $\frac{\alpha}{p - 2} = \frac{1}{p - 2} \implies \alpha = 1$ (যেহেতু $p \neq 2$)
আবার, প্রথম দুই অনুপাত হতে, $\alpha = \frac{4 - p^{2}}{p - 2} = \frac{(2-p)(2+p)}{p-2} = -(p+2)$
$\therefore 1 = -(p+2)$
বা, $1 = -p - 2$
বা, $p = -3$
$\therefore$ নির্ণেয় শর্ত: $p + 3 = 0$।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $g(x) = x^{3} - 5x^{2} + 17x - 13 = 0$
যেহেতু জটিল মূলগুলো যুগল হিসেবে থাকে, তাই একটি মূল $2 + 3i$ হলে অপর একটি মূল হবে $2 - 3i$।
মূলদ্বয়ের যোগফল $= (2+3i) + (2-3i) = 4$
মূলদ্বয়ের গুণফল $= (2+3i)(2-3i) = 2^{2} - (3i)^{2} = 4 + 9 = 13$
$\therefore$ মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত উৎপাদক: $x^{2} - 4x + 13$
এখন ভাগ প্রক্রিয়ায় পাই:
$x^{3} - 5x^{2} + 17x - 13 = x(x^{2} - 4x + 13) - 1(x^{2} - 4x + 13) = (x - 1)(x^{2} - 4x + 13)$
$\therefore$ সমীকরণের তৃতীয় মূলটি হলো $x - 1 = 0 \implies x = 1$
সুতরাং, অপর মূলগুলো হলো $2 - 3i$ এবং $1$।