ID#6160 HSC Higher Math 2nd CQ (Sylhet 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত রাশি: $\sec^{-1} \tan\{\sin(\cos^{-1} x)\}$
ধরি, $\cos^{-1} x = \theta \implies \cos \theta = x$
$\therefore \sin \theta = \sqrt{1 - x^2}$
এখন, $\tan\{\sin(\cos^{-1} x)\} = \tan(\sqrt{1 - x^2})$
ধরি, $\sqrt{1 - x^2} = \phi$
$\therefore \sec^{-1} \tan \phi = \cos^{-1}(\cot \phi) = \cos^{-1}(\frac{1}{\tan \phi})$
$\therefore$ নির্ণেয় মান: $\sec^{-1} \tan(\sqrt{1 - x^2})$।
(বিঃদ্রঃ উদ্দীপকের টাইপিং বা ফাংশন বিন্যাস অনুযায়ী এটি একটি ধ্রুবক মানে না এসে $x$ এর ফাংশন হিসেবেই থাকবে)।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos x$
প্রশ্নমতে, $\{f(x/a)\}^{-1} + \{f(y/b)\}^{-1} = \theta$
বা, $\cos^{-1}(x/a) + \cos^{-1}(y/b) = \theta$ [যেহেতু $f(x)^{-1}$ বলতে বিপরীত ফাংশন বোঝানো হয়েছে]
বা, $\cos^{-1} \{ \frac{xy}{ab} - \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \} = \theta$
বা, $\frac{xy}{ab} - \cos \theta = \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}}$
বর্গ করে পাই, $(\frac{xy}{ab} - \cos \theta)^2 = (1 - \frac{x^2}{a^2})(1 - \frac{y^2}{b^2})$
বা, $\frac{x^2 y^2}{a^2 b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 y^2}{a^2 b^2}$
বা, $\frac{x^2}{a^2} - \frac{2xy}{ab} \cos \theta + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \cos^2 \theta$
বা, $\frac{b^2 x^2 - 2abxy \cos \theta + a^2 y^2}{a^2 b^2} = \sin^2 \theta$
$\therefore b^2 x^2 - 2abxy \cos \theta + a^2 y^2 = a^2 b^2 \sin^2 \theta$ (দেখানো হলো)।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = \cos x$
$\therefore f(\pi/2 - x) = \sin x$
$\therefore f(2x) = \cos 2x$ এবং $f(\pi/2 - 2x) = \sin 2x$
প্রদত্ত সমীকরণ: $\cos x + \sin x = \cos 2x + \sin 2x$
বা, $(\cos x - \cos 2x) + (\sin x - \sin 2x) = 0$
বা, $2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} + 2 \cos \frac{3x}{2} \sin (-\frac{x}{2}) = 0$
বা, $2 \sin \frac{x}{2} (\sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) = 0$

হয়, $\sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi$
$0 \leq x \leq \pi$ সীমার মধ্যে $x = 0$।
অথবা, $\sin \frac{3x}{2} = \cos \frac{3x}{2} \implies \tan \frac{3x}{2} = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\therefore \frac{3x}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$
$n=0$ হলে $x = \pi/6$ এবং $n=1$ হলে $x = 2\pi/3 + \pi/6 = 5\pi/6$।
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান: $x = 0, \pi/6, 5\pi/6$।