ID#6161 HSC Higher Math 2nd CQ (Sylhet 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $(3y + 1)^2 = 9(2x - 3)$
বা, $\{3(y + 1/3)\}^2 = 18(x - 3/2)$
বা, $9(y + 1/3)^2 = 18(x - 3/2)$
বা, $(y + 1/3)^2 = 2(x - 3/2)$
একে $Y^2 = 4aX$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $4a = 2 \implies a = 1/2$
শীর্ষবিন্দু $(X=0, Y=0) \implies (x - 3/2 = 0, y + 1/3 = 0) \implies (3/2, -1/3)$
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= |4a| = 2$ একক।
$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(3/2, -1/3)$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $2$।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ হতে পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y^2 = 4ax$
প্রদত্ত রেখা: $x - 2y + 2 = 0 \implies x = 2y - 2$
রেখাটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে, $(2y - 2)$ মানটি পরাবৃত্তে বসিয়ে পাই:
$y^2 = 4a(2y - 2) \implies y^2 - 8ay + 8a = 0$
স্পর্শ করার শর্তমতে পৃথায়ক $D = 0$ হবে।
$\therefore (-8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8a = 0 \implies 64a^2 - 32a = 0$
বা, $32a(2a - 1) = 0 \implies a = 1/2$ (যেহেতু $a \neq 0$)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(a, 0) = (1/2, 0)$
নিয়ামক রেখার সমীকরণ $x + a = 0 \implies x + 1/2 = 0 \implies 2x + 1 = 0$।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ হতে সমীকরণ: $5x^2 + 4y^2 - 10x + 16y + 1 = 0$
বা, $5(x^2 - 2x + 1) + 4(y^2 + 4y + 4) = -1 + 5 + 16$
বা, $5(x - 1)^2 + 4(y + 2)^2 = 20$
বা, $\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{5} = 1$
যেহেতু এটি $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ আকারের এবং $b^2 > a^2$, এটি একটি উপবৃত্ত।
এখানে $a^2 = 4, b^2 = 5$। উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 - a^2/b^2} = \sqrt{1 - 4/5} = 1/\sqrt{5}$।
১. উপকেন্দ্রদ্বয়: $(X=0, Y=\pm be) \implies (x-1=0, y+2=\pm \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$
$\therefore (1, -2 \pm 1) \implies (1, -1)$ ও $(1, -3)$
২. উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $= 2be = 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 2$ একক।
৩. নিয়ামক রেখা: $Y = \pm b/e \implies y + 2 = \pm \frac{\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = \pm 5$
$\therefore y + 2 = 5 \implies y - 3 = 0$ এবং $y + 2 = -5 \implies y + 7 = 0$।