ID#6167 HSC Higher Math 2nd CQ (Chittagong 2025)
MS Word Writing Guide
১.
প্রথমে উপরের COPY বাটনে ক্লিক করুন।
২.
MS Word-এ গিয়ে Ctrl + V দিয়ে পেস্ট করুন।
৩.
সমীকরণটি সিলেক্ট করে কিবোর্ডে Alt + = চাপুন।
Shortcut: Alt and equal key
৪.
এরপর ডানদিকের ড্রপডাউন থেকে Professional সিলেক্ট করলেই গণিত সুন্দর দেখাবে।
দৃশ্যকল্প-১: $p(x, y) = x + iy$ যেখানে $i$ কাল্পনিক সংখ্যা।
দৃশ্যকল্প-২: $f(x) = ax^2 + bx + c$ এবং $g(x) = px^2 + qx + r$।
দৃশ্যকল্প-২: $f(x) = ax^2 + bx + c$ এবং $g(x) = px^2 + qx + r$।
ক) সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর : $4\sqrt{3}\sin\theta\cdot\cos\theta = 3$।
খ) দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে $|p(x - 5, y)| + |p(x + 5, y)| = 15$ সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চার পথ নির্ণয় কর।
গ) যদি $f(x) = 0$ সমীকরণের মূল দুটির অনুপাত $g(x) = 0$ সমীকরণের মূল দুটির অনুপাতের সমান হয়, তাহলে দেখাও যে, $b : q = \sqrt{2} : \sqrt{7}$ যখন $a = 3, c = 2$ এবং $p = 7, r = 3$।
ব্যাখ্যা
(ক) সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর : $4\sqrt{3}\sin\theta \cdot \cos\theta = 3$
দেওয়া আছে, $4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta = 3$
বা, $2\sqrt{3}(2\sin\theta\cos\theta) = 3$
বা, $2\sqrt{3}\sin2\theta = 3$
বা, $\sin2\theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
বা, $\sin2\theta = \sin\frac{\pi}{3}$
আমরা জানি, $\sin\theta = \sin\alpha$ হলে, $\theta = n\pi + (-1)^n\alpha$
$\therefore 2\theta = n\pi + (-1)^n\frac{\pi}{3}$
বা, $\theta = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n\frac{\pi}{6}$ [যেখানে $n \in \mathbb{Z}$]
(খ) দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে সঞ্চার পথ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $p(x, y) = x + iy$
$\therefore p(x-5, y) = (x-5) + iy$ এবং $p(x+5, y) = (x+5) + iy$
শর্তমতে, $|(x-5) + iy| + |(x+5) + iy| = 15$
বা, $\sqrt{(x-5)^2 + y^2} + \sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 15$
বা, $\sqrt{(x-5)^2 + y^2} = 15 - \sqrt{(x+5)^2 + y^2}$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$(x-5)^2 + y^2 = 225 + (x+5)^2 + y^2 - 30\sqrt{(x+5)^2 + y^2}$
বা, $x^2 - 10x + 25 = 225 + x^2 + 10x + 25 - 30\sqrt{(x+5)^2 + y^2}$
বা, $30\sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 20x + 225$
বা, $6\sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 4x + 45$ [৫ দ্বারা ভাগ করে]
পুনরায় বর্গ করে পাই,
$36(x^2 + 10x + 25 + y^2) = 16x^2 + 360x + 2025$
বা, $36x^2 + 360x + 900 + 36y^2 = 16x^2 + 360x + 2025$
বা, $20x^2 + 36y^2 = 1125$
বা, $\frac{x^2}{1125/20} + \frac{y^2}{1125/36} = 1$
এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
(গ) দেখাও যে, $b : q = \sqrt{2} : \sqrt{7}$
দেওয়া আছে, $a = 3, c = 2$ এবং $p = 7, r = 3$।
$f(x) = 3x^2 + bx + 2 = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে, $\alpha + \beta = -\frac{b}{3}$ এবং $\alpha\beta = \frac{2}{3}$
$g(x) = 7x^2 + qx + 3 = 0$ এর মূলদ্বয় $\gamma, \delta$ হলে, $\gamma + \delta = -\frac{q}{7}$ এবং $\gamma\delta = \frac{3}{7}$
শর্তমতে, $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = k$ (ধরি)
আমরা জানি, মূলদ্বয়ের অনুপাত $r$ হলে, $\frac{(r+1)^2}{r} = \frac{B^2}{AC}$
$\therefore \frac{(\alpha+\beta)^2}{\alpha\beta} = \frac{(\gamma+\delta)^2}{\gamma\delta}$
বা, $\frac{(-b/3)^2}{2/3} = \frac{(-q/7)^2}{3/7}$
বা, $\frac{b^2/9}{2/3} = \frac{q^2/49}{3/7}$
বা, $\frac{b^2}{6} = \frac{q^2}{21}$
বা, $\frac{b^2}{q^2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$
বা, $\frac{b}{q} = \sqrt{\frac{2}{7}}$
$\therefore b : q = \sqrt{2} : \sqrt{7}$ (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে, $4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta = 3$
বা, $2\sqrt{3}(2\sin\theta\cos\theta) = 3$
বা, $2\sqrt{3}\sin2\theta = 3$
বা, $\sin2\theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
বা, $\sin2\theta = \sin\frac{\pi}{3}$
আমরা জানি, $\sin\theta = \sin\alpha$ হলে, $\theta = n\pi + (-1)^n\alpha$
$\therefore 2\theta = n\pi + (-1)^n\frac{\pi}{3}$
বা, $\theta = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n\frac{\pi}{6}$ [যেখানে $n \in \mathbb{Z}$]
(খ) দৃশ্যকল্প-১ এর সাহায্যে সঞ্চার পথ নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $p(x, y) = x + iy$
$\therefore p(x-5, y) = (x-5) + iy$ এবং $p(x+5, y) = (x+5) + iy$
শর্তমতে, $|(x-5) + iy| + |(x+5) + iy| = 15$
বা, $\sqrt{(x-5)^2 + y^2} + \sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 15$
বা, $\sqrt{(x-5)^2 + y^2} = 15 - \sqrt{(x+5)^2 + y^2}$
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
$(x-5)^2 + y^2 = 225 + (x+5)^2 + y^2 - 30\sqrt{(x+5)^2 + y^2}$
বা, $x^2 - 10x + 25 = 225 + x^2 + 10x + 25 - 30\sqrt{(x+5)^2 + y^2}$
বা, $30\sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 20x + 225$
বা, $6\sqrt{(x+5)^2 + y^2} = 4x + 45$ [৫ দ্বারা ভাগ করে]
পুনরায় বর্গ করে পাই,
$36(x^2 + 10x + 25 + y^2) = 16x^2 + 360x + 2025$
বা, $36x^2 + 360x + 900 + 36y^2 = 16x^2 + 360x + 2025$
বা, $20x^2 + 36y^2 = 1125$
বা, $\frac{x^2}{1125/20} + \frac{y^2}{1125/36} = 1$
এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
(গ) দেখাও যে, $b : q = \sqrt{2} : \sqrt{7}$
দেওয়া আছে, $a = 3, c = 2$ এবং $p = 7, r = 3$।
$f(x) = 3x^2 + bx + 2 = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে, $\alpha + \beta = -\frac{b}{3}$ এবং $\alpha\beta = \frac{2}{3}$
$g(x) = 7x^2 + qx + 3 = 0$ এর মূলদ্বয় $\gamma, \delta$ হলে, $\gamma + \delta = -\frac{q}{7}$ এবং $\gamma\delta = \frac{3}{7}$
শর্তমতে, $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} = k$ (ধরি)
আমরা জানি, মূলদ্বয়ের অনুপাত $r$ হলে, $\frac{(r+1)^2}{r} = \frac{B^2}{AC}$
$\therefore \frac{(\alpha+\beta)^2}{\alpha\beta} = \frac{(\gamma+\delta)^2}{\gamma\delta}$
বা, $\frac{(-b/3)^2}{2/3} = \frac{(-q/7)^2}{3/7}$
বা, $\frac{b^2/9}{2/3} = \frac{q^2/49}{3/7}$
বা, $\frac{b^2}{6} = \frac{q^2}{21}$
বা, $\frac{b^2}{q^2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$
বা, $\frac{b}{q} = \sqrt{\frac{2}{7}}$
$\therefore b : q = \sqrt{2} : \sqrt{7}$ (দেখানো হলো)
Resource Details
| Exam | HSC |
| Subject | Higher Math 2nd paper |
| Chapter | 7 |
| Board | Chittagong |
| Year | 2025 |
Discussion — HSC Higher Math 2nd CQ (Chittagong 2025)
No discussion yet. Be the first to post a comment!