ID#6169 HSC Higher Math 2nd CQ (Chittagong 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত অধিবৃত্ত: $9x^2 - 4y^2 = 36$
বা, $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$
এখানে, $a^2 = 4$ এবং $b^2 = 9$।
আমরা জানি, অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$
$\therefore e = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ: $ax^2 + by^2 - 36x - 4y + 43 = 0$
$a = 6, b = 4$ হলে: $6x^2 + 4y^2 - 36x - 4y + 43 = 0$
বা, $6(x^2 - 6x) + 4(y^2 - y) = -43$
বা, $6(x - 3)^2 + 4(y - 1/2)^2 = -43 + 54 + 1 = 12$
বা, $\frac{(x - 3)^2}{2} + \frac{(y - 1/2)^2}{3} = 1$
এটি একটি উপবৃত্ত যেখানে $b^2 > a^2$ ($3 > 2$)।
উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 - 2/3} = 1/\sqrt{3}$।
১. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{2a^2}{b} = \frac{2(2)}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ একক।
২. নিয়ামকের সমীকরণ: $Y - 1/2 = \pm b/e \implies y - 1/2 = \pm \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \pm 3$
$\therefore y = 3.5$ এবং $y = -2.5$ বা, $2y - 7 = 0$ এবং $2y + 5 = 0$।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ হতে, শীর্ষবিন্দু $A(4, 2)$ এবং উপকেন্দ্র $S(0, 2)$।
যেহেতু শীর্ষ ও উপকেন্দ্রের কোটি ($y=2$) সমান, তাই অক্ষটি x-অক্ষের সমান্তরাল এবং পরাবৃত্তটি বাম দিকে মুখ করা।
শীর্ষ ও উপকেন্দ্রের দূরত্ব, $a = \sqrt{(4-0)^2 + (2-2)^2} = 4$।
পরাবৃত্তের সমীকরণ: $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ [বামমুখী বলে ঋণাত্মক]
বা, $(y - 2)^2 = -4(4)(x - 4)$
বা, $y^2 - 4y + 4 = -16x + 64$
$\therefore y^2 + 16x - 4y - 60 = 0$ (নির্ণেয় সমীকরণ)।