ID#6171 HSC Higher Math 2nd CQ (Rajshahi 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $3x^{2} + 7x + 8 = 0$
এখানে, $a = 3, b = 7, c = 8$
$\therefore$ নিশ্চয়ক বা পৃথায়ক $D = b^{2} - 4ac$
$\implies D = 7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8$
$\implies D = 49 - 96$
$\implies D = -47$
যেহেতু নিশ্চয়ক $D < 0$, সেহেতু মূলগুলো অবাস্তব (জটিল) এবং অসমান।

খ-এর উত্তর:
ধরি, $f(x) = x^{2} + mx + n = 0$ --- (i) এবং $g(x) = x^{2} + nx + m = 0$ --- (ii) এর সাধারণ মূল $\alpha$।
$\therefore \alpha^{2} + m\alpha + n = 0$
$\alpha^{2} + n\alpha + m = 0$
বিয়োগ করে পাই, $(m-n)\alpha + (n-m) = 0$
$\implies (m-n)\alpha = (m-n)$
$\implies \alpha = 1$
(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $1, \beta_{1}$ হলে, $1 \cdot \beta_{1} = n \implies \beta_{1} = n$
(ii) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $1, \beta_{2}$ হলে, $1 \cdot \beta_{2} = m \implies \beta_{2} = m$
অপর মূলদ্বয় হলো $m$ ও $n$।
$\therefore$ অপর মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ:
$x^{2} - (m+n)x + mn = 0$
এখন, $\alpha=1$ হলে (i) হতে পাই, $1^{2} + m(1) + n = 0 \implies m+n = -1$
$\implies x^{2} - (-1)x + mn = 0$
$\therefore x^{2} + x + mn = 0$ (প্রমাণিত)।

গ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $2x^{3} - 6x^{2} + 4x - 2 = 0$
বা, $x^{3} - 3x^{2} + 2x - 1 = 0$ [২ দ্বারা ভাগ করে]
মূলত্রয় $a, b, c$ হলে,
$\sum a = a+b+c = -(-3)/1 = 3$ --- (i)
$\sum ab = ab+bc+ca = 2/1 = 2$ --- (ii)
$abc = -(-1)/1 = 1$ --- (iii)
আমাদের মান নির্ণয় করতে হবে $\sum a^{2}b = a^{2}b + a^{2}c + b^{2}a + b^{2}c + c^{2}a + c^{2}b$
আমরা জানি, $(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^{2}b + abc + a^{2}c + ab^{2} + b^{2}c + abc + abc + bc^{2} + c^{2}a$
$\implies (\sum a)(\sum ab) = \sum a^{2}b + 3abc$
$\implies 3 \cdot 2 = \sum a^{2}b + 3 \cdot 1$
$\implies 6 = \sum a^{2}b + 3$
$\implies \sum a^{2}b = 6 - 3$
$\therefore \sum a^{2}b = 3$ (নির্ণেয় মান)।