ID#6172 HSC Higher Math 2nd CQ (Rajshahi 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত রাশি: $\cos^{-1} \sin \cos^{-1} (\frac{1}{2})$
$\implies \cos^{-1} \sin (\frac{\pi}{3})$ [$\because \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$]
$\implies \cos^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$ [$\because \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$]
$\implies \frac{\pi}{6}$
$\therefore$ নির্ণেয় মুখ্যমান $\frac{\pi}{6}$।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $L = 2\sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{5}}) + \sec^{-1} (\frac{5}{4})$
ধরি, $\sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{5}}) = \theta \implies \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\therefore \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}} = \frac{1}{2} \implies \theta = \tan^{-1} (\frac{1}{2})$
আবার, $\sec^{-1} (\frac{5}{4}) = \tan^{-1} \frac{\sqrt{5^2 - 4^2}}{4} = \tan^{-1} (\frac{3}{4})$
এখন, $L = 2\tan^{-1} (\frac{1}{2}) + \tan^{-1} (\frac{3}{4})$
$\implies L = \tan^{-1} \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} + \tan^{-1} (\frac{3}{4})$
$\implies L = \tan^{-1} \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} + \tan^{-1} (\frac{3}{4})$
$\implies L = \tan^{-1} (\frac{4}{3}) + \tan^{-1} (\frac{3}{4})$
$\implies L = \tan^{-1} (\frac{4}{3}) + \cot^{-1} (\frac{4}{3})$ [$\because \tan^{-1} \frac{1}{x} = \cot^{-1} x$]
$\implies L = \frac{\pi}{2}$ [$\because \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$]
$\therefore L = \frac{\pi}{2}$ (দেখানো হলো)।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = \cot^{-1} (\frac{1}{x}) = \tan^{-1} x$
$y = \tan^{-1} x$ ফাংশনটি $-\infty < x < \infty$ ব্যবধিতে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন।
লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য $x$ ও $y$ এর কয়েকটি মান নিই:

$x$	$-\infty$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$0$	$1$	$\sqrt{3}$	$\infty$
$y$	$-\frac{\pi}{2}$	$-\frac{\pi}{3}$	$-\frac{\pi}{4}$	$0$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$

লেখচিত্রের প্রকৃতি:
১. যখন $x \to \infty$, তখন $y \to \frac{\pi}{2}$ এবং যখন $x \to -\infty$, তখন $y \to -\frac{\pi}{2}$।
২. লেখচিত্রটি মূলবিন্দু $(0,0)$ দিয়ে অতিক্রম করে।
৩. এটি একটি ক্রমবর্ধনশীল ফাংশন যার সীমা $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$।
৪. $y = \frac{\pi}{2}$ এবং $y = -\frac{\pi}{2}$ রেখা দুটি লেখচিত্রের অসীম তট (Asymptote) হিসেবে কাজ করে।
চিত্রের বিবরণ: $x$-অক্ষ বরাবর বাস্তব মান এবং $y$-অক্ষ বরাবর কোণের মান নিয়ে বিন্দুগুলো স্থাপন করলে একটি মসৃণ 'S' আকৃতির বক্ররেখা পাওয়া যাবে যা $y = \pm \frac{\pi}{2}$ রেখাকে স্পর্শ করবে না।