ID#6174 HSC Higher Math 2nd CQ (Rajshahi 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত অধিবৃত্ত: $16y^2 - 9x^2 = 144$
$\implies \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$
এখানে, $a^2 = 16 \implies a = 4$ এবং $b^2 = 9 \implies b = 3$।
আমরা জানি, $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ আকৃতির অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ $x = \pm \frac{a}{b}y$।
$\therefore x = \pm \frac{4}{3}y$
$\implies 3x = \pm 4y$
$\therefore 3x \pm 4y = 0$ (নির্ণেয় অসীমতটের সমীকরণ)।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(2, 2)$ এবং শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক $x + 2y + 6 = 0$।
পরাবৃত্তের অক্ষরেখা শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর লম্ব এবং উপকেন্দ্রগামী।
$\therefore$ অক্ষরেখার সমীকরণ: $2x - y + k = 0$
অক্ষরেখাটি $S(2, 2)$ বিন্দুগামী হওয়ায়, $2(2) - 2 + k = 0 \implies k = -2$।
$\therefore$ অক্ষরেখার সমীকরণ: $2x - y - 2 = 0$
অক্ষরেখা ও শীর্ষস্পর্শকের ছেদবিন্দু হলো শীর্ষ $A$।
$x + 2y + 6 = 0$ এবং $2x - y - 2 = 0$ সমাধান করে পাই, $A(-0.4, -2.8)$।
ধরি, নিয়ামক রেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$।
যেহেতু $A$ হলো $SZ$ এর মধ্যবিন্দু,
$\therefore \frac{\alpha+2}{2} = -0.4 \implies \alpha = -2.8$
$\frac{\beta+2}{2} = -2.8 \implies \beta = -7.6$
নিয়ামক রেখাটি শীর্ষস্পর্শকের সমান্তরাল এবং $Z(-2.8, -7.6)$ বিন্দুগামী।
$\therefore$ নিয়ামকের সমীকরণ: $x + 2y + K = 0$
$-2.8 + 2(-7.6) + K = 0 \implies K = 18$
$\therefore$ নিয়ামক রেখা: $x + 2y + 18 = 0$
পরাবৃত্তের সংজ্ঞা হতে, $SP = PM$
$\implies \sqrt{(x-2)^2 + (y-2)^2} = \frac{|x+2y+18|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
$\implies 5(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = (x+2y+18)^2$
$\implies 5x^2 + 5y^2 - 20x - 20y + 40 = x^2 + 4y^2 + 324 + 4xy + 72y + 36x$
$\therefore 4x^2 - 4xy + y^2 - 56x - 92y - 284 = 0$ (নির্ণেয় সমীকরণ)।

গ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $4x^2 - 8x + 8y^2 - 8y = 0$
$\implies 4(x^2 - 2x) + 8(y^2 - y) = 0$
$\implies 4(x-1)^2 - 4 + 8(y-1/2)^2 - 2 = 0$
$\implies 4(x-1)^2 + 8(y-1/2)^2 = 6$
$\implies \frac{(x-1)^2}{3/2} + \frac{(y-1/2)^2}{3/4} = 1$
যেহেতু এটি $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ আকারের, তাই এটি একটি উপবৃত্ত।
এখানে, $a^2 = 3/2, b^2 = 3/4$। যেহেতু $a^2 > b^2$।
উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3/4}{3/2}} = \sqrt{1 - 1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
১. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(3/4)}{\sqrt{3/2}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ একক।
২. উপকেন্দ্রদ্বয় $(X, Y) = (\pm ae, 0)$
$x - 1 = \pm \sqrt{3/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y - 1/2 = 0 \implies y = 1/2$
$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয়: $(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$।
৩. ফোকাস দূরত্ব (উপবৃত্তের কোনো বিন্দু $P(x,y)$ থেকে): $a \pm ex$
এখানে কেন্দ্র থেকে ফোকাস দূরত্ব $= ae = \frac{\sqrt{3}}{2}$ একক।