ID#6176 HSC Higher Math 2nd CQ (Rajshahi 2025)

ক-এর উত্তর:
ধরি, $P = 2N, Q = 4N$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
যেহেতু লব্ধি $P$ বলের ওপর লম্ব, সেহেতু লব্ধির দিক $\theta = 90^\circ$।
আমরা জানি, $\tan \theta = \frac{Q \sin \alpha}{P + Q \cos \alpha}$
$\implies \tan 90^\circ = \frac{4 \sin \alpha}{2 + 4 \cos \alpha}$
$\implies \frac{1}{0} = \frac{4 \sin \alpha}{2 + 4 \cos \alpha}$
$\implies 2 + 4 \cos \alpha = 0$
$\implies 4 \cos \alpha = -2$
$\implies \cos \alpha = -1/2 = \cos 120^\circ$
$\therefore \alpha = 120^\circ$।

খ-এর উত্তর:
ধরি, $P = 6N, Q = 8N$ এবং $S = 10N$ মানের বল তিনটি যথাক্রমে $OX$ অক্ষের সাথে $0^\circ, 120^\circ$ এবং $240^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
লব্ধি $R$ হলে এবং তা $OX$ এর সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে, বলগুলোর অনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশ নিয়ে পাই:
$R \cos \theta = 6 \cos 0^\circ + 8 \cos 120^\circ + 10 \cos 240^\circ$
$\implies R \cos \theta = 6(1) + 8(-1/2) + 10(-1/2)$
$\implies R \cos \theta = 6 - 4 - 5 = -3$ --- (i)
আবার, $R \sin \theta = 6 \sin 0^\circ + 8 \sin 120^\circ + 10 \sin 240^\circ$
$\implies R \sin \theta = 6(0) + 8(\sqrt{3}/2) + 10(-\sqrt{3}/2)$
$\implies R \sin \theta = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -\sqrt{3}$ --- (ii)
(i) ও (ii) বর্গ করে যোগ করে পাই:
$R^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = (-3)^2 + (-\sqrt{3})^2$
$\implies R^2 = 9 + 3 = 12$
$\therefore R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} N$।
আবার, $\tan \theta = \frac{R \sin \theta}{R \cos \theta} = \frac{-\sqrt{3}}{-3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
যেহেতু $\sin \theta$ এবং $\cos \theta$ উভয়ই ঋণাত্মক, লব্ধি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
$\therefore \theta = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$।
অর্থাৎ লব্ধির মান $2\sqrt{3} N$ এবং দিক $6N$ বলের সাথে $210^\circ$ কোণে।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে, লোকটি কাঁধের ওপর দণ্ডটি আনুভূমিকভাবে রেখেছে।
ধরি, কাঁধের অবস্থান $A$, এক প্রান্তে হাতের চাপ $P$ (অবস্থান $B$) এবং অপর প্রান্তে বস্তুর ওজন $W$ (অবস্থান $C$)।
কাঁধের ওপর চাপের পরিমাণ $R$। সমান্তরাল বলের সূত্রানুসারে, $R = P + W$।
কাঁধের সাপেক্ষে বলগুলোর ভ্রামক নিয়ে পাই:
$P \times AB = W \times AC$
দেওয়া আছে, কাঁধ হতে বস্তুর দূরত্ব $AC = l$ এবং হাতের দূরত্ব $AB = m$।
$\implies P \times m = W \times l$
$\implies P = \frac{Wl}{m}$
আবার, কাঁধের ওপর চাপ $R = P + W$
$\implies R = \frac{Wl}{m} + W$
$\implies R = W (\frac{l + m}{m})$
$\implies \frac{R}{W} = \frac{l + m}{m}$
$\implies \frac{R}{W} = \frac{l}{m} + 1$
$\implies \frac{l}{m} = \frac{R}{W} - 1 = \frac{R - W}{W}$
$\therefore l:m = (R-W):W$।