ID#6177 HSC Higher Math 2nd CQ (Rajshahi 2025)

ক-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, আদিবেগ $u = 10 ms^{-1}$ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 ms^{-2}$।
আমরা জানি, সর্বাধিক উচ্চতা $H = \frac{u^{2}}{2g}$
$\implies H = \frac{10^{2}}{2 \times 9.8} = \frac{100}{19.6}$
$\therefore H \approx 5.102 m$
আবার, বিচরণকাল $T = \frac{2u}{g}$
$\implies T = \frac{2 \times 10}{9.8} = \frac{20}{9.8}$
$\therefore T \approx 2.041 s$
সর্বাধিক উচ্চতা $5.10 m$ এবং বিচরণকাল $2.04 s$।

খ-এর উত্তর:
ধরি, শিয়ালটি যাত্রা শুরুর $t$ সময় পর খরগোশটিকে ধরতে পারবে।
শিয়ালের ক্ষেত্রে (সমত্বরণ):
আদিবেগ $u = 0$, ত্বরণ $a = 2 ms^{-2}$
শিয়ালের অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_{1} = ut + \frac{1}{2}at^{2}$
$\implies s_{1} = 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^{2} = t^{2}$ --- (i)
খরগোশের ক্ষেত্রে (সমবেগ):
বেগ $v = 14 ms^{-1}$
খরগোশের অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_{2} = vt = 14t$ --- (ii)
যেহেতু খরগোশটি শিয়াল হতে $15 m$ সামনে ছিল, তাই শর্তমতে:
$s_{1} = s_{2} + 15$
$\implies t^{2} = 14t + 15$
$\implies t^{2} - 14t - 15 = 0$
$\implies t^{2} - 15t + t - 15 = 0$
$\implies t(t - 15) + 1(t - 15) = 0$
$\implies (t - 15)(t + 1) = 0$
$\implies t = 15$ অথবা $t = -1$ [সময় ঋণাত্মক হতে পারে না]
$\therefore t = 15 s$
শিয়ালের আদি অবস্থান হতে দূরত্ব $s_{1} = (15)^{2} = 225 m$
অর্থাৎ, শিয়ালটি যাত্রা শুরুর $15 s$ পর এবং আদি অবস্থান হতে $225 m$ দূরে খরগোশটিকে ধরতে পারবে।

গ-এর উত্তর:
ধরি, সাঁতারুর বেগ $u = 13 ms^{-1}$, স্রোতের বেগ $v = 12 ms^{-1}$ এবং নদীর প্রস্থ $d$।
সোজাসুজি পার হওয়ার ক্ষেত্রে সাঁতারুর লব্ধি বেগ $w = \sqrt{u^{2} - v^{2}}$
$\implies w = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 ms^{-1}$
সোজাসুজি পার হতে সময় $t = \frac{d}{w} = \frac{d}{5}$ --- (i)
স্রোতের অনুকূলে যাওয়ার সময় কার্যকর বেগ $V = u + v$
$\implies V = 13 + 12 = 25 ms^{-1}$
স্রোতের অনুকূলে একই দূরত্ব ($d$) অতিক্রম করতে সময় $t' = \frac{d}{V} = \frac{d}{25}$ --- (ii)
এখন $t$ এবং $t'$ এর অনুপাত নির্ণয় করি:
$\frac{t}{t'} = \frac{d/5}{d/25}$
$\implies \frac{t}{t'} = \frac{d}{5} \times \frac{25}{d}$
$\implies \frac{t}{t'} = \frac{5}{1}$
$\therefore t:t' = 5:1$
নির্ণেয় অনুপাত $5:1$।