ID#6179 HSC Higher Math 2nd CQ (Mymensingh 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^{3} - 7x^{2} + kx - 7 = 0$
যেহেতু মূলগুলো বাস্তব সহগবিশিষ্ট সমীকরণের, তাই একটি মূল $i$ হলে অপর একটি মূল অবশ্যই $-i$ হবে।
ধরি, তৃতীয় মূলটি $\alpha$।
মূলগুলোর যোগফল, $\alpha + i + (-i) = -(-7)/1$
$\implies \alpha = 7$
মূলত্রয়ের গুণফল, $\alpha \cdot i \cdot (-i) = -(-7)/1$
$\implies 7 \cdot (-i^{2}) = 7$
$\implies 7 \cdot 1 = 7$ (যা সত্য)
$\therefore$ সমীকরণটির মূলগুলো হলো: $7, i, -i$।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $ax^{2} + bx + c = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$।
$\therefore \alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ এবং $\alpha\beta = \frac{c}{a}$
প্রদত্ত দ্বিতীয় সমীকরণ: $9cx^{2} - 6bx + 4a = 0$
উভয় পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$9(\frac{c}{a})x^{2} - 6(\frac{b}{a})x + 4 = 0$
$\implies 9(\alpha\beta)x^{2} - 6(-\alpha-\beta)x + 4 = 0$
$\implies 9\alpha\beta x^{2} + 6(\alpha+\beta)x + 4 = 0$
$\implies 9\alpha\beta x^{2} + 6\alpha x + 6\beta x + 4 = 0$
$\implies 3\alpha x(3\beta x + 2) + 2(3\beta x + 2) = 0$
$\implies (3\beta x + 2)(3\alpha x + 2) = 0$
হয়, $3\beta x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3\beta}$
অথবা, $3\alpha x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3\alpha}$
$\therefore$ মূলদ্বয় হলো: $-\frac{2}{3\alpha}, -\frac{2}{3\beta}$।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = ax^{2} + bx + c = 0$ --- (i)
এবং $f(1/x) = a(1/x)^{2} + b(1/x) + c = 0$
$\implies \frac{a}{x^{2}} + \frac{b}{x} + c = 0$
$\implies cx^{2} + bx + a = 0$ --- (ii)
ধরি, (i) ও (ii) এর সাধারণ মূল $\alpha$।
$\therefore a\alpha^{2} + b\alpha + c = 0$
$c\alpha^{2} + b\alpha + a = 0$
বজ্রগুণন করে পাই,
$\frac{\alpha^{2}}{ab - bc} = \frac{\alpha}{c^{2} - a^{2}} = \frac{1}{ab - bc}$
প্রথম ও শেষ অংশ হতে, $\alpha^{2} = 1 \implies \alpha = \pm 1$
দ্বিতীয় ও শেষ অংশ হতে, $\alpha = \frac{c^{2} - a^{2}}{b(a - c)} = \frac{(c-a)(c+a)}{-b(c-a)}$
$\implies \alpha = -\frac{c+a}{b}$
এখন, $\alpha$ এর মান বসিয়ে পাই,
$\pm 1 = -\frac{c+a}{b}$
$\implies c+a = \mp b$
$\therefore c+a = \pm b$ (প্রমাণিত)।