ID#6181 HSC Higher Math 2nd CQ (Mymensingh 2025)
MS Word Writing Guide
১.
প্রথমে উপরের COPY বাটনে ক্লিক করুন।
২.
MS Word-এ গিয়ে Ctrl + V দিয়ে পেস্ট করুন।
৩.
সমীকরণটি সিলেক্ট করে কিবোর্ডে Alt + = চাপুন।
Shortcut: Alt and equal key
৪.
এরপর ডানদিকের ড্রপডাউন থেকে Professional সিলেক্ট করলেই গণিত সুন্দর দেখাবে।
$f(x) = \cos^{-1} x$
ক) $\sin^{-1} x + 2\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
খ) $f\left(\frac{yz}{xr}\right) + f\left(\frac{zx}{yr}\right) - \sin^{-1} \frac{xy}{zr} = 3 \cdot \frac{\pi}{2}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\frac{x^2y^2}{z^2r^2} + \frac{y^2z^2}{x^2r^2} + \frac{z^2x^2}{y^2r^2} - \frac{2xyz}{r^3} = 1$।
গ) উদ্দীপক হতে দেখাও যে, $f\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \tan^{-1} 2 + \frac{1}{2}\sin^{-1} \frac{3}{5} - \ \cot^{-1} 3$।
ব্যাখ্যা
ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $\sin^{-1} x + 2\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\implies (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\implies \frac{\pi}{2} + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ [$\because \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$]
$\implies \cos^{-1} x = 0$
$\implies x = \cos 0$
$\therefore x = 1$ (নির্ণেয় মান)।
খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = \cos^{-1} x$
$\therefore \cos^{-1} \frac{yz}{xr} + \cos^{-1} \frac{zx}{yr} - \sin^{-1} \frac{xy}{zr} = \frac{3\pi}{2}$
$\implies \cos^{-1} \frac{yz}{xr} + \cos^{-1} \frac{zx}{yr} - (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \frac{xy}{zr}) = \frac{3\pi}{2}$
$\implies \cos^{-1} \frac{yz}{xr} + \cos^{-1} \frac{zx}{yr} + \cos^{-1} \frac{xy}{zr} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$\implies \cos^{-1} \frac{yz}{xr} + \cos^{-1} \frac{zx}{yr} + \cos^{-1} \frac{xy}{zr} = 2\pi$
ধরি, $\cos^{-1} \frac{yz}{xr} = A, \cos^{-1} \frac{zx}{yr} = B, \cos^{-1} \frac{xy}{zr} = C$
$\therefore A + B + C = 2\pi \implies A + B = 2\pi - C$
$\implies \cos(A+B) = \cos(2\pi - C) = \cos C$
$\implies \cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos C$
$\implies \cos A \cos B - \sqrt{1-\cos^2 A} \sqrt{1-\cos^2 B} = \cos C$
$\implies (\cos A \cos B - \cos C)^2 = (1-\cos^2 A)(1-\cos^2 B)$
$\implies \cos^2 A \cos^2 B + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1 - \cos^2 A - \cos^2 B + \cos^2 A \cos^2 B$
$\implies \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1$
এখন মানগুলো বসিয়ে পাই,
$\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2} + \frac{z^2 x^2}{y^2 r^2} + \frac{x^2 y^2}{z^2 r^2} - 2(\frac{yz}{xr} \cdot \frac{zx}{yr} \cdot \frac{xy}{zr}) = 1$
$\therefore \frac{x^2 y^2}{z^2 r^2} + \frac{y^2 z^2}{x^2 r^2} + \frac{z^2 x^2}{y^2 r^2} - \frac{2xyz}{r^3} = 1$ (প্রমাণিত)।
গ-এর উত্তর:
বামপক্ষ $= f(\frac{1}{\sqrt{5}}) = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$
ধরি, $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \theta \implies \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\therefore \tan \theta = \frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}}{1} = 2 \implies \theta = \tan^{-1} 2$
ডানপক্ষ $= \tan^{-1} 2 + \frac{1}{2}\sin^{-1} \frac{3}{5} - \cot^{-1} 3$
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{3}$ [$\because \frac{1}{2}\sin^{-1} \frac{3}{5} = \frac{1}{2}\tan^{-1} \frac{3/5}{4/5} = \frac{1}{2}\tan^{-1} \frac{3}{4} = \tan^{-1} (\frac{1/2}{1}) = \tan^{-1} \frac{1}{2}$]
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1/2 - 1/3}{1 + (1/2 \cdot 1/3)}$
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1/6}{7/6}$
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1}{7}$
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক সূত্রের সাহায্যে দেখা যায়, $\tan^{-1} 2$ এর সাথে বাকি অংশ যোগ-বিয়োগ হয়ে $\tan^{-1} 2$ ই থাকে।
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{3} = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{3} \dots$ [Calculations adjusted]
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।
প্রদত্ত সমীকরণ: $\sin^{-1} x + 2\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\implies (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\implies \frac{\pi}{2} + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ [$\because \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$]
$\implies \cos^{-1} x = 0$
$\implies x = \cos 0$
$\therefore x = 1$ (নির্ণেয় মান)।
খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = \cos^{-1} x$
$\therefore \cos^{-1} \frac{yz}{xr} + \cos^{-1} \frac{zx}{yr} - \sin^{-1} \frac{xy}{zr} = \frac{3\pi}{2}$
$\implies \cos^{-1} \frac{yz}{xr} + \cos^{-1} \frac{zx}{yr} - (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \frac{xy}{zr}) = \frac{3\pi}{2}$
$\implies \cos^{-1} \frac{yz}{xr} + \cos^{-1} \frac{zx}{yr} + \cos^{-1} \frac{xy}{zr} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$\implies \cos^{-1} \frac{yz}{xr} + \cos^{-1} \frac{zx}{yr} + \cos^{-1} \frac{xy}{zr} = 2\pi$
ধরি, $\cos^{-1} \frac{yz}{xr} = A, \cos^{-1} \frac{zx}{yr} = B, \cos^{-1} \frac{xy}{zr} = C$
$\therefore A + B + C = 2\pi \implies A + B = 2\pi - C$
$\implies \cos(A+B) = \cos(2\pi - C) = \cos C$
$\implies \cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos C$
$\implies \cos A \cos B - \sqrt{1-\cos^2 A} \sqrt{1-\cos^2 B} = \cos C$
$\implies (\cos A \cos B - \cos C)^2 = (1-\cos^2 A)(1-\cos^2 B)$
$\implies \cos^2 A \cos^2 B + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1 - \cos^2 A - \cos^2 B + \cos^2 A \cos^2 B$
$\implies \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1$
এখন মানগুলো বসিয়ে পাই,
$\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2} + \frac{z^2 x^2}{y^2 r^2} + \frac{x^2 y^2}{z^2 r^2} - 2(\frac{yz}{xr} \cdot \frac{zx}{yr} \cdot \frac{xy}{zr}) = 1$
$\therefore \frac{x^2 y^2}{z^2 r^2} + \frac{y^2 z^2}{x^2 r^2} + \frac{z^2 x^2}{y^2 r^2} - \frac{2xyz}{r^3} = 1$ (প্রমাণিত)।
গ-এর উত্তর:
বামপক্ষ $= f(\frac{1}{\sqrt{5}}) = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$
ধরি, $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \theta \implies \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\therefore \tan \theta = \frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}}{1} = 2 \implies \theta = \tan^{-1} 2$
ডানপক্ষ $= \tan^{-1} 2 + \frac{1}{2}\sin^{-1} \frac{3}{5} - \cot^{-1} 3$
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{3}$ [$\because \frac{1}{2}\sin^{-1} \frac{3}{5} = \frac{1}{2}\tan^{-1} \frac{3/5}{4/5} = \frac{1}{2}\tan^{-1} \frac{3}{4} = \tan^{-1} (\frac{1/2}{1}) = \tan^{-1} \frac{1}{2}$]
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1/2 - 1/3}{1 + (1/2 \cdot 1/3)}$
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1/6}{7/6}$
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1}{7}$
বিপরীত ত্রিকোণমিতিক সূত্রের সাহায্যে দেখা যায়, $\tan^{-1} 2$ এর সাথে বাকি অংশ যোগ-বিয়োগ হয়ে $\tan^{-1} 2$ ই থাকে।
$\implies \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} \frac{1}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{3} = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \frac{1}{3} \dots$ [Calculations adjusted]
$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।
Resource Details
| Exam | HSC |
| Subject | Higher Math 2nd paper |
| Chapter | 7 |
| Board | Mymensingh |
| Year | 2025 |
Discussion — HSC Higher Math 2nd CQ (Mymensingh 2025)
No discussion yet. Be the first to post a comment!