ID#6182 HSC Higher Math 2nd CQ (Mymensingh 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $2x^2 + y^2 = 1$
$\implies \frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1} = 1$
এখানে, $a^2 = 1/2$ এবং $b^2 = 1$।
যেহেতু $b > a$, সেহেতু উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
$\therefore$ বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ: $x = 0$।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, উপবৃত্তের কেন্দ্র $D(3, 0)$ এবং বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর।
ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{(x-3)^2}{a^2} + \frac{(y-0)^2}{b^2} = 1$ --- (i) [যেখানে $a > b$]
উপবৃত্তটি $B(0, 2)$ বিন্দুগামী। (i) নং এ বসিয়ে পাই,
$\frac{(0-3)^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$ --- (ii)
আবার, উপবৃত্তটি $A(-2, 0)$ বিন্দুগামী। (i) নং এ বসিয়ে পাই,
$\frac{(-2-3)^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \implies \frac{25}{a^2} = 1 \implies a^2 = 25$
$a^2$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$\frac{9}{25} + \frac{4}{b^2} = 1 \implies \frac{4}{b^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\implies b^2 = \frac{4 \times 25}{16} = \frac{25}{4}$
আমরা জানি, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$
$\implies e = \sqrt{1 - \frac{25/4}{25}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}}$
$\therefore e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা)।

গ-এর উত্তর:
চিত্র হতে দেখা যায়, $AB$ রেখাটি $A(-2, 0)$ এবং $B(0, 2)$ বিন্দুগামী।
$AB$ রেখার সমীকরণ: $\frac{x}{-2} + \frac{y}{2} = 1 \implies -x + y = 2 \implies x - y + 2 = 0$
পরাবৃত্তের শীর্ষ $C$ বিন্দুটি $AB$ রেখার ওপর অবস্থিত এবং $OC \perp AB$।
মূলবিন্দু $O(0, 0)$ হতে $AB$ রেখার ওপর লম্ব $OC$ এর সমীকরণ: $x + y + k = 0$
রেখাটি $O(0, 0)$ বিন্দুগামী বলে $k = 0$। $\therefore OC \equiv x + y = 0$।
$x - y + 2 = 0$ এবং $x + y = 0$ সমাধান করে শীর্ষবিন্দু পাই, $C(-1, 1)$।
শীর্ষ $C(-1, 1)$ এবং উপকেন্দ্র $O(0, 0)$।
শীর্ষ ও উপকেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব $a = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
অক্ষরেখা $OC$ এর সমীকরণ: $x + y = 0$।
নিয়ামক রেখা $AB$ রেখার সমান্তরাল এবং শীর্ষ হতে সমান দূরত্বে (বিপরীত দিকে) অবস্থিত।
ধরি, নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$। $C$ হলো $SZ$ এর মধ্যবিন্দু।
$\frac{\alpha+0}{2} = -1 \implies \alpha = -2$ এবং $\frac{\beta+0}{2} = 1 \implies \beta = 2$।
নিয়ামক রেখা $x - y + K = 0$ যা $Z(-2, 2)$ বিন্দুগামী।
$-2 - 2 + K = 0 \implies K = 4$। $\therefore$ নিয়ামক: $x - y + 4 = 0$।
পরাবৃত্তের সমীকরণ: $SP^2 = PM^2$
$\implies (x-0)^2 + (y-0)^2 = \frac{(x-y+4)^2}{1^2 + (-1)^2}$
$\implies 2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 16 - 2xy - 8y + 8x$
$\therefore x^2 + 2xy + y^2 - 8x + 8y - 16 = 0$ (নির্ণেয় সমীকরণ)।