ID#6183 HSC Higher Math 2nd CQ (Mymensingh 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত পরাবৃত্ত: $y^2 = 12x$
এখানে, $4a = 12 \implies a = 3$
ধরি, পরাবৃত্তের ওপরস্থ বিন্দুটি $P(x, y)$।
আমরা জানি, পরাবৃত্তের ওপরস্থ কোনো বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব $= x + a$
প্রশ্নমতে, $x + 3 = 6$
$\therefore x = 3$
নির্ণেয় বিন্দুর ভুজ $3$।

খ-এর উত্তর:
প্রদত্ত মানগুলো উদ্দীপকের সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$9x^2 - 0 - 16y^2 - 2(9)x + 2(-32)y - 199 = 0$
$\implies 9x^2 - 16y^2 - 18x - 64y - 199 = 0$
$\implies 9(x^2 - 2x + 1) - 9 - 16(y^2 + 4y + 4) + 64 - 199 = 0$
$\implies 9(x-1)^2 - 16(y+2)^2 - 144 = 0$
$\implies \frac{(x-1)^2}{16} - \frac{(y+2)^2}{9} = 1$
এটি একটি অধিবৃত্ত যার কেন্দ্র $(1, -2)$ এবং $a^2 = 16 \implies a = 4, b^2 = 9 \implies b = 3$।
উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$।
আমরা জানি, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $X = \pm ae$
$\implies x - 1 = \pm (4 \cdot \frac{5}{4})$
$\implies x - 1 = \pm 5$
ধনাত্মক নিয়ে, $x - 6 = 0$; ঋণাত্মক নিয়ে, $x + 4 = 0$।
$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণদ্বয়: $x - 6 = 0$ এবং $x + 4 = 0$।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(-1, 1)$, নিয়ামক $x + y + 1 = 0$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = 1$।
যেহেতু $e = 1$, তাই কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
পরাবৃত্তের সংজ্ঞা হতে আমরা জানি, $SP^2 = PM^2$
$\implies (x+1)^2 + (y-1)^2 = \frac{(x+y+1)^2}{1^2+1^2}$
$\implies x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = \frac{x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2y + 2x}{2}$
$\implies 2x^2 + 2y^2 + 4x - 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1$
$\implies x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 6y + 3 = 0$ --- (i)
উদ্দীপকের সমীকরণ: $ax^2 - 2hxy + by^2 - 2gx + 2fy - c = 0$ --- (ii)
(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,
$a = 1, h = 1, b = 1, g = -1, f = -3, c = -3$
বামপক্ষ: $h^2 - ab = 1^2 - (1 \cdot 1) = 0$
ডানপক্ষ: $c - f = -3 - (-3) = 0$
$\therefore h^2 - ab = c - f$ (দেখানো হলো)।