ID#6186 HSC Higher Math 2nd CQ (Dinajpur 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত জটিল সংখ্যা: $z = \frac{1}{-2i}$
$\implies z = \frac{1 \cdot i}{-2i \cdot i} = \frac{i}{-2i^{2}} = \frac{i}{2}$ [$\because i^{2} = -1$]
$\implies z = 0 + i\frac{1}{2}$
এখানে বাস্তব অংশ $x = 0$ এবং কাল্পনিক অংশ $y = \frac{1}{2}$ (ধনাত্মক)।
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক $y$-অক্ষের ওপর অবস্থিত,
$\therefore \text{arg}(z) = \tan^{-1}(\frac{1/2}{0}) = \tan^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $a = -1/2, b = -\sqrt{3}/2$
$\therefore P = a + ib = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega^{2}$ [এককের একটি জটিল ঘনমূল]
আমরা জানি, $\omega^{3} = 1$ এবং $1 + \omega + \omega^{2} = 0 \implies \omega^{2} = -1 - \omega$।
প্রদত্ত রাশি: $4P^{6} + 25P^{5} + 20P^{4} + P^{3} + 5P + 20$
$\implies 4(\omega^{2})^{6} + 25(\omega^{2})^{5} + 20(\omega^{2})^{4} + (\omega^{2})^{3} + 5(\omega^{2}) + 20$
$\implies 4\omega^{12} + 25\omega^{10} + 20\omega^{8} + \omega^{6} + 5\omega^{2} + 20$
$\implies 4(1) + 25\omega + 20\omega^{2} + 1 + 5\omega^{2} + 20$ [$\because \omega^{3}=1$]
$\implies 25 + 25\omega + 25\omega^{2}$
$\implies 25(1 + \omega + \omega^{2})$
$\implies 25 \times 0 = 0$ [$\because 1+\omega+\omega^{2}=0$]
$\therefore$ নির্ণেয় মান $0$।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $a = 4096, b = 0$
$\therefore P = 4096 + i0 = 4096 = 2^{12}$
আমাদের $\sqrt[6]{-P}$ অর্থাৎ $(-2^{12})^{1/6}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, $x = (-2^{12})^{1/6}$
$\implies x^{6} = -2^{12} = 2^{12} \cdot (-1)$
$\implies x^{6} = 2^{12} \cdot (\cos \pi + i \sin \pi)$
ডি-ময়ভারের সূত্রানুসারে, $x = (2^{12})^{1/6} \cdot [\cos(2k\pi + \pi) + i \sin(2k\pi + \pi)]^{1/6}$
$\implies x = 2^{2} \cdot [\cos\frac{(2k+1)\pi}{6} + i \sin\frac{(2k+1)\pi}{6}]$ যেখানে $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$
$\implies x = 4 \cdot e^{i\frac{(2k+1)\pi}{6}}$
$k=0$ হলে, $4(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) = 4(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = 2\sqrt{3} + 2i$
$k=1$ হলে, $4(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) = 4(0 + i) = 4i$
$k=2$ হলে, $4(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = 4(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -2\sqrt{3} + 2i$
$k=3$ হলে, $4(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}) = -2\sqrt{3} - 2i$
$k=4$ হলে, $4(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}) = -4i$
$k=5$ হলে, $4(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}) = 2\sqrt{3} - 2i$
$\therefore$ নির্ণেয় মানসমূহ: $\pm 4i, \pm(2\sqrt{3} + 2i), \pm(2\sqrt{3} - 2i)$।