ID#6189 HSC Higher Math 2nd CQ (Dinajpur 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত রাশি: $\tan^{-1} \sin \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}$
ধরি, $\cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}} = \theta \implies \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\therefore \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
এখন, $\tan^{-1} (\sin \theta) = \tan^{-1} (\frac{1}{\sqrt{3}})$
$\implies \frac{\pi}{6}$
$\therefore$ নির্ণেয় মান $\frac{\pi}{6}$।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $A = \cos^{-1} (\frac{3}{\sqrt{13}}) - \frac{1}{2}\sin^{-1} (\frac{3}{5}) + \csc^{-1} \sqrt{10}$
১ম পদ: $\cos^{-1} \frac{3}{\sqrt{13}} = \tan^{-1} \frac{\sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2}}{3} = \tan^{-1} \frac{2}{3}$
২য় পদ: ধরি, $\sin^{-1} \frac{3}{5} = \phi \implies \sin \phi = \frac{3}{5} \therefore \tan \phi = \frac{3}{4}$
আমরা জানি, $\tan \frac{\phi}{2} = \frac{\sin \phi}{1 + \cos \phi} = \frac{3/5}{1 + 4/5} = \frac{3/5}{9/5} = \frac{1}{3}$
$\therefore \frac{1}{2}\sin^{-1} \frac{3}{5} = \frac{\phi}{2} = \tan^{-1} \frac{1}{3}$
৩য় পদ: $\csc^{-1} \sqrt{10} = \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2}} = \tan^{-1} \frac{1}{3}$
এখন, $A = \tan^{-1} \frac{2}{3} - \tan^{-1} \frac{1}{3} + \tan^{-1} \frac{1}{3}$
$\therefore A = \tan^{-1} \frac{2}{3}$ (দেখানো হলো)।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $\cos x + \sqrt{3}\sin x = \sqrt{2}$
উভয় পক্ষকে $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\implies \cos x \cos \frac{\pi}{3} + \sin x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\implies \cos (x - \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{4}$
$\implies x - \frac{\pi}{3} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
$\therefore x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{4}$
$-\pi < x < \pi$ ব্যবধিতে:
$n = 0$ হলে, $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$ এবং $x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$
$n = 1$ হলে, $x$ এর মানসমূহ সীমার বাইরে চলে যায়।
$n = -1$ হলে, $x = -2\pi + \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{4}$ যা সীমার বাইরে।
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান $x = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$।