ID#6193 HSC Higher Math 2nd CQ (Dinajpur 2025)

ক-এর উত্তর:
ধরি, দুইটি সমান মানের সমবিন্দু বেগের মান $P$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
বেগের লব্ধি $R$, $P$ বেগের সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করলে:
$\tan \theta = \frac{P \sin \alpha}{P + P \cos \alpha}$
$\implies \tan \theta = \frac{P \sin \alpha}{P(1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$
$\implies \tan \theta = \frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{2\cos^{2}(\alpha/2)}$
$\implies \tan \theta = \tan \frac{\alpha}{2}$
$\therefore \theta = \frac{\alpha}{2}$
যেহেতু লব্ধি বেগের মধ্যবর্তী কোণের অর্ধেক, তাই এটি কোণটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (দেখানো হলো)

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, সর্বাধিক উচ্চতা $H = \frac{u^{2} \sin^{2} \alpha}{2g} \implies \sin^{2} \alpha = \frac{2gH}{u^{2}}$ --- (i)
এবং আনুভূমিক পাল্লা $R = \frac{u^{2} \sin 2\alpha}{g} \implies R = \frac{2u^{2} \sin \alpha \cos \alpha}{g}$
$\implies R^{2} = \frac{4u^{4} \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha}{g^{2}}$
$\implies R^{2} = \frac{4u^{4} \sin^{2} \alpha (1 - \sin^{2} \alpha)}{g^{2}}$
এখন (i) হতে $\sin^{2} \alpha$ এর মান বসিয়ে পাই:
$R^{2} = \frac{4u^{4}}{g^{2}} \cdot \frac{2gH}{u^{2}} (1 - \frac{2gH}{u^{2}})$
$\implies R^{2} = \frac{8u^{2}H}{g} (\frac{u^{2} - 2gH}{u^{2}})$
$\implies gR^{2} = 8H(u^{2} - 2gH)$
$\implies gR^{2} = 8u^{2}H - 16gH^{2}$
$\therefore 16gH^{2} - 8u^{2}H + gR^{2} = 0$ (প্রমাণিত)।

গ-এর উত্তর:
ধরি, ১ম বলটি $x$ দূরত্ব নামতে $t_{1}$ সময় নেয়।
$x = \frac{1}{2}gt_{1}^{2} \implies t_{1} = \sqrt{\frac{2x}{g}}$
ঐ মুহূর্তে ১ম বলের প্রাপ্ত বেগ $v = gt_{1} = \sqrt{2gx}$।
ধরি, এর আরও $t$ সময় পর বলদ্বয় ভূমিতে মিলিত হয়।
১ম বলের ক্ষেত্রে অবশিষ্ট উচ্চতা $(h-x)$:
$h - x = vt + \frac{1}{2}gt^{2}$ --- (ii)
২য় বলটি চূড়ার $2x$ নিচে হতে ফেলা হয়। এর অতিক্রান্ত দূরত্ব $= h - 2x$।
$h - 2x = 0 \cdot t + \frac{1}{2}gt^{2} \implies \frac{1}{2}gt^{2} = h - 2x$ --- (iii)
(ii) নং এ (iii) এর মান বসিয়ে পাই:
$h - x = \sqrt{2gx} \cdot t + h - 2x$
$\implies x = \sqrt{2gx} \cdot t \implies t = \sqrt{\frac{x}{2g}} \implies t^{2} = \frac{x}{2g}$
এখন (iii) নং এ $t^{2}$ এর মান বসিয়ে পাই:
$h - 2x = \frac{1}{2}g(\frac{x}{2g})$
$\implies h - 2x = \frac{x}{4}$
$\implies h = 2x + \frac{x}{4}$
$\therefore h = \frac{9}{4}x$ (দেখানো হলো)।