ID#6194 HSC Higher Math 2nd CQ (Comilla 2025)

ক-এর উত্তর:
ধরি, $z = -16 - 30i$
$\implies z = -(16 + 30i)$
$\implies z = 9 - 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5i$
$\implies z = 3^2 + (5i)^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5i$
$\implies z = (3 - 5i)^2$
$\therefore \sqrt{-16-30i} = \pm(3 - 5i)$ (নির্ণেয় বর্গমূল)।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $z_1 = a-ib$, $z_2 = c-id$ এবং $x:y = z_1:z_2$
$\implies \frac{x}{y} = \frac{a-ib}{c-id}$
$\implies x(c-id) = y(a-ib)$
$\implies cx - i dx = ay - i by$
বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ পৃথক করে পাই,
$cx = ay \implies c = \frac{ay}{x}$ এবং $dx = by \implies d = \frac{by}{x}$
এখন বামপক্ষ $= (c^2 + d^2)x^2 + (a^2 + b^2)y^2$
$\implies \{(\frac{ay}{x})^2 + (\frac{by}{x})^2\}x^2 + (a^2 + b^2)y^2$
$\implies \frac{(a^2+b^2)y^2}{x^2} \cdot x^2 + (a^2 + b^2)y^2$
$\implies (a^2 + b^2)y^2 + (a^2 + b^2)y^2 = 2(a^2 + b^2)y^2$ --- (i)
আবার, $x(c-id) = y(a-ib)$ হতে বর্গ করে পাই,
$x^2(c-id)^2 = y^2(a-ib)^2$
জটিল সংখ্যার পরমমানের ধর্ম অনুযায়ী, $|z_1/z_2| = |x/y| \implies |z_1|^2 y^2 = |z_2|^2 x^2$
$\implies (a^2+b^2)y^2 = (c^2+d^2)x^2$
$\therefore (c^2+d^2)x^2 + (a^2+b^2)y^2 = 2(a^2+b^2)y^2$
যেহেতু $x/y = (a-ib)/(c-id)$, বজ্রগুণন ও সরলীকরণের মাধ্যমে দেখা যায়:
ডানপক্ষ $= 2(ac+bd)xy = 2(a^2+b^2)y^2$
$\therefore (c^2 + d^2)x^2 + (a^2 + b^2)y^2 = 2(ac+bd)xy$ (দেখানো হলো)।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $f(x) = px^2 + qx + r$ এবং $\omega$ এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল।
$\therefore f(\omega) = p\omega^2 + q\omega + r$
এবং $f(1/\omega) = f(\omega^2) = p\omega^4 + q\omega^2 + r = p\omega + q\omega^2 + r$
প্রশ্নমতে, $\{f(\omega)\}^3 + \{f(\omega^2)\}^3 = 0$
$\implies \{f(\omega) + f(\omega^2)\} \{(f(\omega))^2 - f(\omega)f(\omega^2) + (f(\omega^2))^2\} = 0$
$\implies \{p(\omega^2+\omega) + q(\omega+\omega^2) + 2r\} \{ \dots \} = 0$
হয়, $f(\omega) + f(\omega^2) = 0$
$\implies p(-1) + q(-1) + 2r = 0$ [$\because \omega^2+\omega = -1$]
$\implies -p - q + 2r = 0 \implies 2r = p + q$
আবার আমরা জানি, $a^3+b^3=0 \implies a = -b, a = -b\omega, a = -b\omega^2$
যদি $f(\omega) = -f(\omega^2)\omega$ হয়, তবে অনুরূপভাবে সরলীকরণ করলে পাওয়া যায়:
$2p = q + r$
এবং যদি $f(\omega) = -f(\omega^2)\omega^2$ হয়, তবে পাওয়া যায়:
$2q = r + p$
$\therefore 2p=q+r, 2q=r+p, 2r=p+q$ (দেখানো হলো)।