ID#6195 HSC Higher Math 2nd CQ (Comilla 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $3x^3 - 2x^2 + 0x + 1 = 0$
যেহেতু মূলগুলো $\alpha, \beta, \gamma$,
$\therefore \sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = -(-2)/3 = 2/3$
$\sum \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0/3 = 0$
$\alpha\beta\gamma = -1/3$
আমরা জানি, $\sum \alpha\beta \cdot \sum \alpha = (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)(\alpha + \beta + \gamma)$
$\implies 0 \cdot (2/3) = \sum \alpha^2\beta + 3\alpha\beta\gamma$
$\implies 0 = \sum \alpha^2\beta + 3(-1/3)$
$\implies 0 = \sum \alpha^2\beta - 1$
$\therefore \sum \alpha^2\beta = 1$ (নির্ণেয় মান)।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $h(x) = ax^2 + bx + c = 0$
ধরি, একটি মূল $\alpha$, তাহলে অপর মূলটি হবে $\alpha^3$।
মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + \alpha^3 = -b/a$ --- (i)
মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot \alpha^3 = c/a \implies \alpha^4 = c/a$ --- (ii)
(i) নং হতে পাই, $\alpha(1 + \alpha^2) = -b/a$
উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই, $\alpha^2(1 + \alpha^2)^2 = b^2/a^2$
$\implies \alpha^2(1 + 2\alpha^2 + \alpha^4) = b^2/a^2$
$\implies \alpha^2 + 2\alpha^4 + \alpha^6 = b^2/a^2$
$\implies (\alpha^2 + \alpha^6) = b^2/a^2 - 2(c/a) = (b^2 - 2ca)/a^2$ --- (iii)
আবার, $\alpha^4 = c/a$ হলে, $\alpha^2 \cdot \alpha^6 = (\alpha^4)^2 = c^2/a^2$
এখন, $(\alpha^2 + \alpha^6)^2 = (\alpha^2 - \alpha^6)^2 + 4\alpha^2\alpha^6$ এর পরিবর্তে,
$(\alpha^2 + \alpha^6)^2 \cdot ac = (\alpha^2 + \alpha^6)^2 \cdot a^2 \cdot (c/a)$
সরাসরি (iii) কে বর্গ করে এবং (ii) এর সাহায্য নিয়ে পাই,
$(b^2 - 2ca)^2 / a^4 = (\alpha^2 + \alpha^6)^2$
$\implies (b^2 - 2ca)^2 / a^4 = \alpha^4 + \alpha^{12} + 2\alpha^8$
$\implies (b^2 - 2ca)^2 / a^4 = c/a + c^3/a^3 + 2c^2/a^2$
$\implies (b^2 - 2ca)^2 / a^4 = \frac{ca^2 + c^3 + 2c^2a}{a^3} = \frac{c(a^2 + c^2 + 2ca)}{a^3}$
$\implies (b^2 - 2ca)^2 = \frac{ac(a+c)^2}{1}$
$\therefore ac(c+a)^2 = (b^2 - 2ca)^2$ (দেখানো হলো)।

গ-এর উত্তর:
ধরি, $h(x) = ax^2 + bx + c = 0$ এর মূলদ্বয় $\alpha, \beta$ এবং $g(x) = lx^2 + mx + n = 0$ এর মূলদ্বয় $\gamma, \delta$।
শর্তমতে, $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$
$\implies \frac{\alpha+\beta}{\alpha-\beta} = \frac{\gamma+\delta}{\gamma-\delta}$ [যোজন-বিয়োজন করে]
$\implies \frac{(\alpha+\beta)^2}{(\alpha-\beta)^2} = \frac{(\gamma+\delta)^2}{(\gamma-\delta)^2}$ [বর্গ করে]
$\implies \frac{(\alpha+\beta)^2}{(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta} = \frac{(\gamma+\delta)^2}{(\gamma+\delta)^2 - 4\gamma\delta}$
আমরা জানি, $\alpha+\beta = -b/a, \alpha\beta = c/a$ এবং $\gamma+\delta = -m/l, \gamma\delta = n/l$।
$\implies \frac{(-b/a)^2}{(-b/a)^2 - 4(c/a)} = \frac{(-m/l)^2}{(-m/l)^2 - 4(n/l)}$
$\implies \frac{b^2/a^2}{(b^2-4ac)/a^2} = \frac{m^2/l^2}{(m^2-4ln)/l^2}$
$\implies \frac{b^2}{b^2-4ac} = \frac{m^2}{m^2-4ln}$
$\implies b^2m^2 - 4b^2ln = b^2m^2 - 4m^2ac$
$\implies -4b^2ln = -4m^2ac$
$\implies b^2ln = m^2ca$
$\therefore b^2ln - m^2ca = 0$ (দেখানো হলো)।