ID#6196 HSC Higher Math 2nd CQ (Comilla 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $x^2 - 2bx + (2b^2 - 2bp + p^2) = 0$
মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত হলো সমীকরণটির নিশ্চায়ক ($D$) শূন্য হবে।
$\therefore D = (-2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2b^2 - 2bp + p^2) = 0$
$\implies 4b^2 - 8b^2 + 8bp - 4p^2 = 0$
$\implies -4b^2 + 8bp - 4p^2 = 0$
$\implies b^2 - 2bp + p^2 = 0$ [$-4$ দ্বারা ভাগ করে]
$\implies (b - p)^2 = 0$
$\therefore b = p$ (প্রমাণিত)।

খ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $a = 8$। $\therefore \phi(x) = 8x^3 - 42x^2 + 63x - 27 = 0$
ধরি, গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত মূলত্রয়: $\frac{A}{r}, A, Ar$।
মূলগুলোর গুণফল, $\frac{A}{r} \cdot A \cdot Ar = - \frac{-27}{8} \implies A^3 = \frac{27}{8}$
$\therefore A = \frac{3}{2}$
যেহেতু $A = 3/2$ সমীকরণের একটি মূল, তাই $(x - 3/2)$ বা $(2x - 3)$ একটি উৎপাদক।
এখন, $8x^3 - 12x^2 - 30x^2 + 45x + 18x - 27 = 0$
$\implies 4x^2(2x - 3) - 15x(2x - 3) + 9(2x - 3) = 0$
$\implies (2x - 3)(4x^2 - 15x + 9) = 0$
$\implies (2x - 3)(4x^2 - 12x - 3x + 9) = 0$
$\implies (2x - 3)\{4x(x - 3) - 3(x - 3)\} = 0$
$\implies (2x - 3)(4x - 3)(x - 3) = 0$
$\therefore x = 3/2, 3/4, 3$
নির্ণেয় সমাধান: $x = 3, 3/2, 3/4$।

গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $a = 0$। $\therefore \phi(x) = -42x^2 + 63x - 27 = 0$
$\implies 42x^2 - 63x + 27 = 0$
$\implies 14x^2 - 21x + 9 = 0$ [$3$ দ্বারা ভাগ করে] --- (i)
যেহেতু (i) নং এর মূলদ্বয় $\beta$ ও $\gamma$,
$\therefore \beta + \gamma = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$ এবং $\beta\gamma = \frac{9}{14}$।
নতুন সমীকরণের মূলদ্বয় $3 - 2\beta$ এবং $3 - 2\gamma$।
মূলদ্বয়ের যোগফল $= (3 - 2\beta) + (3 - 2\gamma) = 6 - 2(\beta + \gamma) = 6 - 2(3/2) = 3$
মূলদ্বয়ের গুণফল $= (3 - 2\beta)(3 - 2\gamma) = 9 - 6(\beta + \gamma) + 4\beta\gamma$
$\implies 9 - 6(3/2) + 4(9/14) = 9 - 9 + 18/7 = 18/7$
নির্ণেয় সমীকরণ: $x^2 - (\text{যোগফল})x + (\text{গুণফল}) = 0$
$\implies x^2 - 3x + \frac{18}{7} = 0$
$\therefore 7x^2 - 21x + 18 = 0$।