ID#6198 HSC Higher Math 2nd CQ (Comilla 2025)

ক-এর উত্তর:
প্রদত্ত অধিবৃত্ত: $4x^2 - 9y^2 = 36$
$\implies \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$
এখানে, $a^2 = 9 \implies a = 3$ এবং $b^2 = 4 \implies b = 2$।
আমরা জানি, অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ: $y = \pm \frac{b}{a}x$
$\implies y = \pm \frac{2}{3}x$
$\therefore 2x \pm 3y = 0$ (নির্ণেয় সমীকরণ)।

খ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ: $x = ay^2 + by + c$
যেহেতু এটি $x$-অক্ষ অভিমুখী পরাবৃত্ত এবং এর শীর্ষ $(1, 2)$,
তাই এর সমীকরণকে শীর্ষবিন্দু আকারে লিখলে পাই, $(y - 2)^2 = 4A(x - 1)$
বা, $x - 1 = \frac{1}{4A}(y - 2)^2$
ধরি, $k = \frac{1}{4A}$ হলে, $x = k(y - 2)^2 + 1$ --- (i)
পরাবৃত্তটি $(3, -2)$ বিন্দুগামী। (i) নং এ বসিয়ে পাই,
$3 = k(-2 - 2)^2 + 1 \implies 2 = 16k \implies k = 1/8$
এখন (i) নং এ $k$ এর মান বসিয়ে পাই,
$x = \frac{1}{8}(y^2 - 4y + 4) + 1$
$\implies x = \frac{1}{8}y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} + 1$
$\implies x = \frac{1}{8}y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{3}{2}$
উদ্দীপকের সমীকরণ $x = ay^2 + by + c$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
$\therefore a = 1/8, b = -1/2, c = 3/2$ (নির্ণেয় মান)।

গ-এর উত্তর:
প্রদত্ত সমীকরণ: $2x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$
$\implies 2(x^2 - 4x + 4) - 8 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 1 = 0$
$\implies 2(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 8$
$\implies \frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{8} = 1$
এটি $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ আকারের একটি উপবৃত্ত।
এখানে, $a^2 = 4 \implies a = 2$ এবং $b^2 = 8 \implies b = \sqrt{8}$।
যেহেতু $b > a$, উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $y$-অক্ষরেখার সমান্তরাল।
উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
উপকেন্দ্রের জন্য: $X = 0, Y = \pm be$
$\implies x - 2 = 0 \implies x = 2$
$\implies y - 1 = \pm \sqrt{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm 2 \implies y = 1 \pm 2$
$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয়: $(2, 3)$ এবং $(2, -1)$।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $Y = \pm \frac{b}{e}$
$\implies y - 1 = \pm \frac{\sqrt{8}}{1/\sqrt{2}} = \pm 4$
$\implies y - 1 = 4$ এবং $y - 1 = -4$
$\therefore y - 5 = 0$ এবং $y + 3 = 0$।