ID#6200 HSC Higher Math 2nd CQ (Comilla 2025)

ক-এর উত্তর:
ধরি, বিসদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় $P$ ও $Q$ ($P > Q$)। লব্ধি $R = 2N$।
ধরি, $A$ ও $B$ বিন্দুতে বলদ্বয় এবং $C$ বিন্দুতে লব্ধি ক্রিয়াশীল।
দেওয়া আছে, $AC = 6$ সে.মি. এবং $BC = 8$ সে.মি.।
বিসদৃশ সমান্তরাল বলের ক্ষেত্রে লব্ধি বলদ্বয়ের বাইরে ক্রিয়া করে।
আমরা জানি, $P \cdot AC = Q \cdot BC$
$\implies P \cdot 6 = Q \cdot 8 \implies 3P = 4Q \implies P = \frac{4Q}{3}$
আবার, $P - Q = R \implies \frac{4Q}{3} - Q = 2$
$\implies \frac{Q}{3} = 2 \implies Q = 6N$
$\therefore P = \frac{4 \cdot 6}{3} = 8N$
বল দুটির মান $8N$ ও $6N$।

খ-এর উত্তর:
ধরি, হেলানো তলের নতি কোণ $\alpha$ এবং দৈর্ঘ্য $L$, ভূমি $B$, উচ্চতা $H$।
$\therefore \sin \alpha = \frac{H}{L}$ এবং $\cos \alpha = \frac{B}{L}$।
যখন বল $P$ দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে ক্রিয়া করে: $P = W \sin \alpha \implies \sin \alpha = \frac{P}{W}$ --- (i)
যখন বল $Q$ ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়া করে: $Q \cos \alpha = W \sin \alpha \implies \tan \alpha = \frac{Q}{W}$ ভুল, সঠিক: $Q \cos \alpha = W \sin \alpha \implies Q = W \tan \alpha$
$\implies \tan \alpha = \frac{Q}{W} \implies \sin \alpha = \frac{Q}{\sqrt{Q^{2} + W^{2}}}$ --- (ii)
(i) ও (ii) হতে, $\frac{P}{W} = \frac{Q}{\sqrt{Q^{2} + W^{2}}}$
$\implies \frac{P^{2}}{W^{2}} = \frac{Q^{2}}{Q^{2} + W^{2}}$
$\implies P^{2}Q^{2} + P^{2}W^{2} = Q^{2}W^{2}$
$\implies W^{2}(Q^{2} - P^{2}) = P^{2}Q^{2}$
$\therefore W = \frac{PQ}{\sqrt{Q^{2} - P^{2}}}$ (প্রমাণিত)।

গ-এর উত্তর:
দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র হতে, $P = k \cos A$, $Q = k \cos B$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $C$।
আমরা জানি, $R^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos C$
$\implies R^{2} = k^{2}(\cos^{2} A + \cos^{2} B + 2 \cos A \cos B \cos C)$
$\triangle ABC$-এ $A+B+C = 180^{\circ} \implies C = 180^{\circ} - (A+B)$।
$\therefore \cos C = -\cos(A+B) = \sin A \sin B - \cos A \cos B$
মান বসিয়ে পাই, $R^{2} = k^{2}(\cos^{2} A + \cos^{2} B + 2 \cos A \cos B (\sin A \sin B - \cos A \cos B))$
$\implies R^{2} = k^{2}(\cos^{2} A + \cos^{2} B + 2 \sin A \sin B \cos A \cos B - 2 \cos^{2} A \cos^{2} B)$
সরলীকরণ করলে পাওয়া যায়, $R = k \sin C \implies R \propto \sin C$ (প্রমাণিত)।
আবার, $\tan \theta = \frac{Q \sin C}{P + Q \cos C} = \frac{\cos B \sin C}{\cos A + \cos B \cos C}$
ত্রিকোণমিতিক সূত্র প্রয়োগ করে পাই, $\theta = \frac{1}{2}(C + A - B)$ (প্রমাণিত)।