ID#6201 HSC Higher Math 2nd CQ (Comilla 2025)

ক-এর উত্তর:
ধরি, ১ম বলটি নিক্ষেপের $T$ সময় পর বলদ্বয় মিলিত হয়। তাহলে ২য় বলটি নিক্ষেপের সময় হবে $(T - 2)$ সেকেন্ড।
উভয় বল একই উচ্চতা $h$ এ মিলিত হবে।
১ম বলের ক্ষেত্রে: $h = 49T - \frac{1}{2}gT^2$ --- (i)
২য় বলের ক্ষেত্রে: $h = 49(T - 2) - \frac{1}{2}g(T - 2)^2$ --- (ii)
(i) ও (ii) হতে পাই, $49T - \frac{1}{2}gT^2 = 49(T - 2) - \frac{1}{2}g(T^2 - 4T + 4)$
$\implies 49T - \frac{1}{2}gT^2 = 49T - 98 - \frac{1}{2}gT^2 + 2gT - 2g$
$\implies 0 = -98 + 2gT - 2g \implies 2gT = 98 + 2(9.8) \implies 19.6T = 117.6$
$\therefore T = 6$ সেকেন্ড।
এখন (i) এ $T$ এর মান বসিয়ে পাই, $h = 49(6) - \frac{1}{2}(9.8)(6^2) = 294 - 176.4 = 117.6$ মিটার।
তারা $117.6$ মিটার উচ্চতায় মিলিত হবে।

খ-এর উত্তর:
ধরি, আদিবেগ $u$ এবং সমত্বরণ $f$। $t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $x$।
$\therefore x = ut + \frac{1}{2}ft^2 \implies \frac{x}{t} = u + \frac{1}{2}ft$ --- (iii)
পরবর্তী $t_1$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব $y$ হলে, মোট $(t + t_1)$ সময়ে মোট দূরত্ব $(x + y)$।
$\therefore x + y = u(t + t_1) + \frac{1}{2}f(t + t_1)^2$
$\implies \frac{x + y}{t + t_1} = u + \frac{1}{2}f(t + t_1)$ --- (iv)
(iii) হতে (iv) বিয়োগ করে পাই:
$\frac{x}{t} - \frac{x + y}{t + t_1} = u + \frac{1}{2}ft - u - \frac{1}{2}ft - \frac{1}{2}ft_1 = -\frac{1}{2}ft_1$
$\implies \frac{x(t + t_1) - t(x + y)}{t(t + t_1)} = -\frac{1}{2}ft_1 \implies \frac{xt + xt_1 - xt - yt}{t(t + t_1)} = -\frac{1}{2}ft_1$
$\implies \frac{xt_1 - yt}{t(t + t_1)} = -\frac{1}{2}ft_1 \implies \frac{x}{t} - \frac{y}{t_1} = -\frac{1}{2}f(t + t_1)$
$\therefore f = \frac{2(y/t_1 - x/t)}{t + t_1}$
[দ্রষ্টব্য: উদ্দীপকের চিহ্ন অনুযায়ী $y$ বড় হলে মানটি ধনাত্মক আসবে।]

গ-এর উত্তর:
চিত্র হতে, ১ম প্রক্ষেপকের বেগ $u$ ও প্রক্ষেপণ কোণ $\alpha$ এবং ২য়টির বেগ $v$ ও কোণ $\beta$।
উভয় প্রক্ষেপকের আনুভূমিক পাল্লা $R$ সমান।
$R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{v^2 \sin 2\beta}{g} \implies u^2 \sin 2\alpha = v^2 \sin 2\beta$ --- (v)
আবার, বিচরণকাল $t_1 = \frac{2u \sin \alpha}{g}$ এবং $t_2 = \frac{2v \sin \beta}{g}$
$\therefore \frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{v^2 \sin^2 \beta}$
(v) হতে $u^2/v^2 = \sin 2\beta / \sin 2\alpha$ বসিয়ে পাই:
$\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{\sin 2\beta \sin^2 \alpha}{\sin 2\alpha \sin^2 \beta} = \frac{2 \sin \beta \cos \beta \sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha \sin^2 \beta} = \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$
এখন যোজন-বিয়োজন করে পাই:
$\frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1^2 - t_2^2} = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta} = \frac{\sin \alpha / \cos \alpha + \sin \beta / \cos \beta}{\sin \alpha / \cos \alpha - \sin \beta / \cos \beta}$
$\implies \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1^2 - t_2^2} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)}$
$\therefore \frac{t_1^2 - t_2^2}{t_1^2 + t_2^2} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$ (প্রমাণিত)।