ID#6527 HSC Physics 2nd CQ (Dinajpur 2025)

ক) আইসোটোপ কাকে বলে?
যেসব পরমাণুর প্রোটন সংখ্যা সমান কিন্তু ভর সংখ্যা ভিন্ন, তাদের একে অপরের আইসোটোপ বলে।

খ) পরমাণুতে ইলেকট্রনের কক্ষপথগুলো ছিন্নায়িত ও অনুমোদিত— ব্যাখ্যা কর।
বোর পরমাণু মডেল অনুসারে, ইলেকট্রনগুলো নিউক্লিয়াসকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধের কক্ষপথে ঘুরতে পারে না। ইলেকট্রন কেবল সেই সকল কক্ষপথে ঘুরতে পারে যাদের কৌণিক ভরবেগ $h/2\pi$ এর পূর্ণ সংখ্যার গুণিতক ($L = n\frac{h}{2\pi}$)। এখানে $n$ এর মান কেবল পূর্ণ সংখ্যা (১, ২, ৩...) হতে পারে বলে কক্ষপথগুলো নিরবচ্ছিন্ন না হয়ে নির্দিষ্ট মানের হয়, যাকে 'ছিন্নায়িত' (quantized) বলা হয়। আর এই নির্দিষ্ট শর্ত পূরণকারী কক্ষপথগুলোকেই 'অনুমোদিত' কক্ষপথ বলা হয়।

গ) A মৌলের গড় আয়ু নির্ণয় কর।
এখানে,
A মৌলের অর্ধাযু, $T_{1/2} = 4$ দিন

আমরা জানি, অর্ধাযু ও গড় আয়ুর সম্পর্ক:
$\tau = \frac{T_{1/2}}{0.693}$
$\Rightarrow \tau = \frac{4}{0.693}$
$\Rightarrow \tau \approx 5.772$ দিন
অতএব, A মৌলের গড় আয়ু ৫.৭৭২ দিন।

ঘ) কত দিন পর উদ্দীপকের B মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভর A মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভরের দ্বিগুণ হবে?— গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে উত্তর দাও।
ধরি, প্রারম্ভিক ভর $N_0$ এবং $t$ দিন পর শর্তটি পূরণ হবে।
শর্তমতে, $N_B = 2N_A$

এখানে,
A মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda_A = \frac{0.693}{4} = 0.17325$ $\text{day}^{-1}$
B মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda_B = \frac{0.693}{6} = 0.1155$ $\text{day}^{-1}$

আমরা জানি, $N = N_0 e^{-\lambda t}$
শর্তানুসারে:
$N_0 e^{-\lambda_B t} = 2 \times N_0 e^{-\lambda_A t}$
$\Rightarrow e^{-\lambda_B t} = 2 e^{-\lambda_A t}$
$\Rightarrow \frac{e^{-\lambda_B t}}{e^{-\lambda_A t}} = 2$
$\Rightarrow e^{(\lambda_A - \lambda_B) t} = 2$
উভয়পক্ষে ln নিয়ে:
$(\lambda_A - \lambda_B) t = \ln(2)$
$\Rightarrow (0.17325 - 0.1155) t = 0.693$
$\Rightarrow 0.05775 t = 0.693$
$\Rightarrow t = \frac{0.693}{0.05775}$
$\Rightarrow t = 12$ দিন

মতামত:
গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, ঠিক ১২ দিন পর B মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভর A মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভরের দ্বিগুণ হবে।