ID#6537 HSC Physics 1st CQ (Chittagong 2025)

ক) ব্যাসার্ধ ভেক্টর কাকে বলে?
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে। একে সাধারণত $\vec{r}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

খ) ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় মূলত বলের উপাংশকে কাজে লাগিয়ে ব্যাগ টানা সহজ করার জন্য। ট্রলি ব্যাগ টানার সময় হাতল দিয়ে বল প্রয়োগ করলে ওই বলের একটি আনুভূমিক উপাংশ ($F\cos\theta$) এবং একটি উলম্ব উপাংশ ($F\sin\theta$) তৈরি হয়। হাতল যত লম্বা হয়, ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ ($\theta$) তত ছোট হয়। ফলে বলের আনুভূমিক উপাংশ ($F\cos\theta$) বৃদ্ধি পায় যা ব্যাগটিকে সামনে এগিয়ে নিতে সাহায্য করে এবং উলম্ব উপাংশ ($F\sin\theta$) ব্যাগের ওজনকে আংশিক প্রশমিত করে টানাকে সহজতর করে তোলে।

গ) $\vec{PQ}$-এর সমান্তরাল একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের চিত্রানুসারে,
$P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1, 3, 4)$ এবং $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2, 3, 4)$
$P$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{OP} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$
$Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{OQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$

সুতরাং, $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$
$\Rightarrow \vec{PQ} = (2-1)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (4-4)\hat{k}$
$\Rightarrow \vec{PQ} = \hat{i}$

$\vec{PQ}$ এর মান, $|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

আমরা জানি, কোনো ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর $\hat{\eta} = \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|}$
$\Rightarrow \hat{\eta} = \frac{\hat{i}}{1} = \hat{i}$
অতএব, $\vec{PQ}$ এর সমান্তরাল একক ভেক্টর হলো $\hat{i}$।

ঘ) উদ্দীপকের আলোকে $\angle POQ$ এবং $\angle OPQ$ এর মান সমান কি-না— গাণিতিক বিশ্লেষণসহ যাচাই কর।

এখানে,
$\vec{OP} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{OQ} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{PQ} = \hat{i}$ (গ-হতে প্রাপ্ত)

$\angle POQ$ এর মান নির্ণয়:
ধরি, $\angle POQ = \theta_1$
আমরা জানি, $\cos\theta_1 = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$
$|\vec{OP}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26} \approx 5.099$
$|\vec{OQ}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4+9+16} = \sqrt{29} \approx 5.385$
$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (1 \times 2) + (3 \times 3) + (4 \times 4) = 2 + 9 + 16 = 27$
$\cos\theta_1 = \frac{27}{\sqrt{26} \times \sqrt{29}} = \frac{27}{27.459} \approx 0.9833$
$\theta_1 = \cos^{-1}(0.9833) \approx 10.48^{\circ}$

$\angle OPQ$ এর মান নির্ণয়:
লক্ষ করি, $\angle OPQ$ হলো $\vec{PO}$ এবং $\vec{PQ}$ এর মধ্যবর্তী কোণ।
$\vec{PO} = -\vec{OP} = -\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}$
$\vec{PQ} = \hat{i}$
ধরি, $\angle OPQ = \theta_2$
$\cos\theta_2 = \frac{\vec{PO} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PO}| |\vec{PQ}|}$
$\vec{PO} \cdot \vec{PQ} = (-1 \times 1) + (-3 \times 0) + (-4 \times 0) = -1$
$|\vec{PO}| = \sqrt{26} \approx 5.099$
$|\vec{PQ}| = 1$
$\cos\theta_2 = \frac{-1}{\sqrt{26} \times 1} = -0.1961$
$\theta_2 = \cos^{-1}(-0.1961) \approx 101.31^{\circ}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
গাণিতিক হিসাব হতে দেখা যায় যে, $\angle POQ \approx 10.48^{\circ}$ এবং $\angle OPQ \approx 101.31^{\circ}$। অর্থাৎ কোণ দুটির মান সমান নয়।