ID#6546 HSC Physics 1st CQ (Sylhet 2025)

ক) পার্কিং কক্ষপথ কাকে বলে?
যে কক্ষপথে কোনো কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল পৃথিবীর নিজ অক্ষের চারদিকে আবর্তনকালের সমান হয় এবং ফলে পৃথিবী থেকে একে স্থির মনে হয়, তাকে পার্কিং কক্ষপথ বা ভূ-স্থির কক্ষপথ বলে।

খ) পৃথিবীর অভ্যন্তরে কোনো স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণ পৃথিবীর কেন্দ্র হতে দূরত্বের সমানুপাতিক—ব্যাখ্যা কর।
পৃথিবীর অভ্যন্তরে কেন্দ্র হতে $r$ দূরত্বে অভিকর্ষজ ত্বরণের সমীকরণ হলো $g' = \frac{4}{3} \pi \rho G r$। এখানে $\pi, \rho$ (পৃথিবীর গড় ঘনত্ব) এবং $G$ ধ্রুবক। ফলে $g' \propto r$ হয়। অর্থাৎ, পৃথিবীর অভ্যন্তরে যত গভীরতর স্থানে যাওয়া যায় (অর্থাৎ কেন্দ্র হতে দূরত্ব $r$ কমে), অভিকর্ষজ ত্বরণ তত কমতে থাকে এবং কেন্দ্রে গিয়ে শূন্য হয়।

গ) উদ্দীপকে প্রদত্ত উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য নির্ণয় কর।
এখানে,
পৃথিবীর ভর, $M = 6 \times 10^{24}$ kg
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6$ m
উচ্চতা, $h = 1800$ km $= 1.8 \times 10^6$ m
মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.67 \times 10^{-11}$ $Nm^2 kg^{-2}$

আমরা জানি, উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ($E$):
$E = \frac{GM}{(R+h)^2}$
$\Rightarrow E = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^6 + 1.8 \times 10^6)^2}$
$\Rightarrow E = \frac{4.002 \times 10^{14}}{(8.2 \times 10^6)^2}$
$\Rightarrow E = \frac{4.002 \times 10^{14}}{6.724 \times 10^{13}}$
$\Rightarrow E \approx 5.95$ $N/kg$ (বা $ms^{-2}$)
অতএব, উক্ত উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য ৫.৯৫ $N/kg$।

ঘ) কৃত্রিম উপগ্রহটি ভূ-পৃষ্ঠে ফিরে আসবে কি-না—গাণিতিকভবে বিশ্লেষণ কর।
কোনো কৃত্রিম উপগ্রহ নির্দিষ্ট উচ্চতায় স্থায়ীভাবে আবর্তন করতে হলে তার জন্য প্রয়োজনীয় কক্ষীয় বেগের ($v_c$) সমান বেগ থাকা প্রয়োজন। যদি উপগ্রহের বর্তমান বেগ কক্ষীয় বেগের চেয়ে কম হয়, তবে সেটি পৃথিবীর আকর্ষণে ভূ-পৃষ্ঠে ফিরে আসবে।

এখানে,
$R+h = 8.2 \times 10^6$ m

প্রদত্ত উচ্চতায় প্রয়োজনীয় কক্ষীয় বেগ ($v_c$):
$v_c = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
$\Rightarrow v_c = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{8.2 \times 10^6}}$
$\Rightarrow v_c = \sqrt{\frac{4.002 \times 10^{14}}{8.2 \times 10^6}}$
$\Rightarrow v_c = \sqrt{48804878.05}$
$\Rightarrow v_c \approx 6986.05$ $ms^{-1}$

উদ্দীপকে কৃত্রিম উপগ্রহটির বর্তমান বেগ, $v = 7.1$ $ms^{-1}$।

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
দেখা যাচ্ছে যে, উপগ্রহটির বর্তমান বেগ ($v = 7.1$ $ms^{-1}$) উক্ত উচ্চতায় নির্দিষ্ট কক্ষপথে আবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয় কক্ষীয় বেগের ($v_c \approx 6986.05$ $ms^{-1}$) তুলনায় অত্যন্ত কম। যেহেতু এর বেগ পৃথিবীর প্রবল অভিকর্ষ টানকে অতিক্রম করে কক্ষপথে টিকে থাকার জন্য যথেষ্ট নয়, সেহেতু কৃত্রিম উপগ্রহটি পৃথিবীতে ফিরে আসবে।