ID#6551 HSC Physics 1st CQ (Barisal 2025)

ক) সমরেখ ভেক্টর কী?
দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সরলরেখা বরাবর বা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।

খ) দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে কি-না? ব্যাখ্যা কর।
হ্যাঁ, দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে যদি ভেক্টর দুটি পরস্পরের ওপর লম্ব হয়। ধরি দুটি ভেক্টর $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$। এদের যোগফলের মান $|\vec{P}+\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\theta}$ এবং বিয়োগফলের মান $|\vec{P}-\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2-2PQ\cos\theta}$। যদি $\theta = 90^{\circ}$ হয়, তবে উভয় ক্ষেত্রেই মান হয় $\sqrt{P^2+Q^2}$। তবে ভেক্টরীয়ভাবে যোগফল ও বিয়োগফল কেবল তখনই সমান হবে যদি একটি ভেক্টর শূন্য (Null vector) হয়।

গ) $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর নির্ণয় কর।
এখানে,
$\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$

আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের তলের লম্বদিকে ভেক্টর হলো তাদের ক্রস গুণফল।
$\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 6 \end{vmatrix}$
$\Rightarrow \vec{C} = \hat{i}(24 - 1) - \hat{j}(18 - (-1)) + \hat{k}(-3 - 4)$
$\Rightarrow \vec{C} = \hat{i}(23) - \hat{j}(19) + \hat{k}(-7)$
$\Rightarrow \vec{C} = 23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}$
অতএব, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকে একটি ভেক্টর হলো $23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}$।

ঘ) $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে $\vec{C}$ ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
কোনো বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হলে সেটি তরলের উৎস (Source) হিসেবে কাজ করে।

এখানে, $\vec{C} = 2x^2 yz\hat{i} + y^2 z\hat{j} + x^2 y^2 z^2 \hat{k}$
ডাইভারজেন্স, $\nabla \cdot \vec{C} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2 z) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2 y^2 z^2)$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{C} = 4xyz + 2yz + 2x^2 y^2 z$

$(2, -1, 2)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্সের মান:
$\nabla \cdot \vec{C} = 4(2)(-1)(2) + 2(-1)(2) + 2(2)^2 (-1)^2 (2)$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{C} = -16 - 4 + 2(4)(1)(2)$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{C} = -20 + 16$
$\Rightarrow \nabla \cdot \vec{C} = -4$

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:
যেহেতু $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্সের মান ঋণাত্মক ($-4$), সেহেতু ভেক্টরক্ষেত্রটি ওই বিন্দুতে উৎস হিসেবে নয় বরং সিঙ্ক (Sink) হিসেবে কাজ করবে। অর্থাৎ তরল সেখানে সংকুচিত হচ্ছে বা এসে মিলিত হচ্ছে। সুতরাং, ক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে না।