ID#6559 HSC Physics 1st CQ (Barisal 2025)
MS Word Writing Guide
১.
প্রথমে উপরের COPY বাটনে ক্লিক করুন।
২.
MS Word-এ গিয়ে Ctrl + V দিয়ে পেস্ট করুন।
৩.
সমীকরণটি সিলেক্ট করে কিবোর্ডে Alt + = চাপুন।
Shortcut: Alt and equal key
৪.
এরপর ডানদিকের ড্রপডাউন থেকে Professional সিলেক্ট করলেই গণিত সুন্দর দেখাবে।
দুইটি ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ ও $\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$ এবং একটি ভেক্টরক্ষেত্র $\vec{C} = 2x^2yz\hat{i} + y^2z\hat{j} + x^2y^2z^2\hat{k}$।
ক) সমরেখ ভেক্টর কী?
খ) দুটি ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফল সমান হতে পারে কি-না? ব্যাখ্যা কর।
গ) $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর নির্ণয় কর।
ঘ) $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে $\vec{C}$ ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
ব্যাখ্যা
ক-এর উত্তর:
যদি দুই বা ততোধিক ভেক্টর একই সরলরেখা বরাবর অথবা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদের সমরেখ ভেক্টর বলে।
খ-এর উত্তর:
দুটি অশূন্য ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে যদি ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের সাথে লম্বভাবে ($90^{\circ}$ কোণে) অবস্থান করে। ধরি ভেক্টরদ্বয় $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$। এদের যোগফলের মান $|\vec{P}+\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\alpha}$ এবং বিয়োগফলের মান $|\vec{P}-\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2-2PQ\cos\alpha}$। যদি $\alpha = 90^{\circ}$ হয়, তবে $\cos 90^{\circ} = 0$, ফলে উভয় ক্ষেত্রেই মান হয় $\sqrt{P^2+Q^2}$। অর্থাৎ, লম্বভাবে ক্রিয়াশীল ভেক্টরের ক্ষেত্রে যোগফল ও বিয়োগফল সমান হয়।
গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$।
ভেক্টরদ্বয়ের তলের লম্বদিকের ভেক্টরটি হলো তাদের ক্রস গুণফল $\vec{R} = \vec{A} \times \vec{B}$।
$\vec{R} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 6 \end{vmatrix}$
$\implies \vec{R} = \hat{i}(24 - 1) - \hat{j}(18 + 1) + \hat{k}(-3 - 4)$
$\implies \vec{R} = 23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}$
$\therefore \vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকের ভেক্টরটি হলো $23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}$। (একক লম্ব ভেক্টর চাইলে একে এর মান দ্বারা ভাগ করতে হবে)।
ঘ-এর উত্তর:
একটি ভেক্টরক্ষেত্র তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না তা তার ডাইভারজেন্স ($\nabla \cdot \vec{C}$) এর মানের ওপর নির্ভর করে। ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হলে তা উৎস হিসেবে কাজ করে।
দেওয়া আছে, $\vec{C} = 2x^2yz\hat{i} + y^2z\hat{j} + x^2y^2z^2\hat{k}$
$\nabla \cdot \vec{C} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2z) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2y^2z^2)$
$\implies \nabla \cdot \vec{C} = 4xyz + 2yz + 2x^2y^2z$
$(2, -1, 2)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্স এর মান:
$\nabla \cdot \vec{C} = 4(2)(-1)(2) + 2(-1)(2) + 2(2^2)(-1^2)(2)$
$\implies \nabla \cdot \vec{C} = -16 - 4 + 16$
$\therefore \nabla \cdot \vec{C} = -4$
যেহেতু ডাইভারজেন্স এর মান ঋণাত্মক, সেহেতু $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে নয়, বরং সিঙ্ক (Sink) হিসেবে কাজ করবে। অর্থাৎ তরল এই বিন্দুতে সংকুচিত হচ্ছে।
যদি দুই বা ততোধিক ভেক্টর একই সরলরেখা বরাবর অথবা পরস্পর সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তবে তাদের সমরেখ ভেক্টর বলে।
খ-এর উত্তর:
দুটি অশূন্য ভেক্টরের যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হতে পারে যদি ভেক্টরদ্বয় পরস্পরের সাথে লম্বভাবে ($90^{\circ}$ কোণে) অবস্থান করে। ধরি ভেক্টরদ্বয় $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$। এদের যোগফলের মান $|\vec{P}+\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos\alpha}$ এবং বিয়োগফলের মান $|\vec{P}-\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2-2PQ\cos\alpha}$। যদি $\alpha = 90^{\circ}$ হয়, তবে $\cos 90^{\circ} = 0$, ফলে উভয় ক্ষেত্রেই মান হয় $\sqrt{P^2+Q^2}$। অর্থাৎ, লম্বভাবে ক্রিয়াশীল ভেক্টরের ক্ষেত্রে যোগফল ও বিয়োগফল সমান হয়।
গ-এর উত্তর:
দেওয়া আছে, $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$।
ভেক্টরদ্বয়ের তলের লম্বদিকের ভেক্টরটি হলো তাদের ক্রস গুণফল $\vec{R} = \vec{A} \times \vec{B}$।
$\vec{R} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 6 \end{vmatrix}$
$\implies \vec{R} = \hat{i}(24 - 1) - \hat{j}(18 + 1) + \hat{k}(-3 - 4)$
$\implies \vec{R} = 23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}$
$\therefore \vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকের ভেক্টরটি হলো $23\hat{i} - 19\hat{j} - 7\hat{k}$। (একক লম্ব ভেক্টর চাইলে একে এর মান দ্বারা ভাগ করতে হবে)।
ঘ-এর উত্তর:
একটি ভেক্টরক্ষেত্র তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে কি-না তা তার ডাইভারজেন্স ($\nabla \cdot \vec{C}$) এর মানের ওপর নির্ভর করে। ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হলে তা উৎস হিসেবে কাজ করে।
দেওয়া আছে, $\vec{C} = 2x^2yz\hat{i} + y^2z\hat{j} + x^2y^2z^2\hat{k}$
$\nabla \cdot \vec{C} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2z) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2y^2z^2)$
$\implies \nabla \cdot \vec{C} = 4xyz + 2yz + 2x^2y^2z$
$(2, -1, 2)$ বিন্দুতে ডাইভারজেন্স এর মান:
$\nabla \cdot \vec{C} = 4(2)(-1)(2) + 2(-1)(2) + 2(2^2)(-1^2)(2)$
$\implies \nabla \cdot \vec{C} = -16 - 4 + 16$
$\therefore \nabla \cdot \vec{C} = -4$
যেহেতু ডাইভারজেন্স এর মান ঋণাত্মক, সেহেতু $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে ভেক্টরক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে নয়, বরং সিঙ্ক (Sink) হিসেবে কাজ করবে। অর্থাৎ তরল এই বিন্দুতে সংকুচিত হচ্ছে।
Resource Details
| Exam | HSC |
| Subject | Physics 1st paper |
| Chapter | 2 |
| Board | Barisal |
| Year | 2025 |
Discussion — HSC Physics 1st CQ (Barisal 2025)
No discussion yet. Be the first to post a comment!