ID#6561 HSC Physics 1st CQ (Barisal 2025)

ক) পূর্ণ দোলন কাকে বলে?
দোলনরত কোনো বস্তু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে যাত্রা শুরু করে আবার একই দিক থেকে ওই বিন্দুতে ফিরে আসলে তাকে একটি পূর্ণ দোলন বলে।

খ) সব দোলক সরল দোলক নয়—ব্যাখ্যা কর।
সরল দোলক হওয়ার জন্য দোলকটিকে সুনির্দিষ্ট শর্ত মেনে চলতে হয়, যেমন— ববটি বিন্দু ভর হতে হবে এবং সুতাটি হতে হবে ওজনহীন, নমনীয় ও অসংকোচনীয়। কিন্তু বাস্তবে ব্যবহৃত দোলকগুলোতে ববের নির্দিষ্ট আয়তন থাকে এবং সুতারও সামান্য ভর থাকে, যা আদর্শ সরল দোলকের শর্ত পূরণ করে না। এছাড়া যেসব দোলকের গতি সরল ছন্দিত স্পন্দন নয় বা যারা $F \propto -x$ নিয়ম মেনে চলে না, তারা সরল দোলক নয়।

গ) উদ্দীপক অনুসারে P পাহাড়ের উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয় কর।
এখানে,
সেকেন্ড দোলকের আদি দোলনকাল, $T = 2$ s
পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল, $T_P = 2.0172$ s
পাদদেশে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8$ $ms^{-2}$
পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_P = ?$

আমরা জানি, দোলনকাল ও অভিকর্ষজ ত্বরণের সম্পর্ক:
$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$
$\Rightarrow \frac{T_P}{T} = \sqrt{\frac{g}{g_P}}$
$\Rightarrow \left( \frac{2.0172}{2} \right)^2 = \frac{9.8}{g_P}$
$\Rightarrow (1.0086)^2 = \frac{9.8}{g_P}$
$\Rightarrow 1.01727 = \frac{9.8}{g_P}$
$\Rightarrow g_P = \frac{9.8}{1.01727}$
$\Rightarrow g_P \approx 9.6336$ $ms^{-2}$
অতএব, P পাহাড়ের উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ ৯.৬৩৩৬ $ms^{-2}$।

ঘ) P এবং Q পাহাড়ের মধ্যে কোনটির উচ্চতা বেশি? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
উচ্চতা নির্ণয়ের জন্য আমরা $h = R \left( \frac{T'}{T} - 1 \right)$ সূত্রটি ব্যবহার করব।
এখানে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6$ m

P পাহাড়ের উচ্চতা ($h_P$):
$h_P = R \left( \frac{T_P}{T} - 1 \right)$
$\Rightarrow h_P = 6.4 \times 10^6 \left( \frac{2.0172}{2} - 1 \right)$
$\Rightarrow h_P = 6.4 \times 10^6 \times 0.0086$
$\Rightarrow h_P = 55040$ m

Q পাহাড়ের উচ্চতা ($h_Q$):
Q পাহাড়ের চূড়ায় দোলকটি প্রতি ঘণ্টায় ($t = 3600$ s) সময় হারায় $n = 45$ s।
প্রতি ঘণ্টায় দোলন সংখ্যা হওয়ার কথা ছিল $N = \frac{3600}{2} = 1800$ টি।
কিন্তু সময় হারানোয় কার্যকর দোলন সংখ্যা, $N' = 1800 - \frac{45}{2}$ (যেহেতু প্রতি দোলনে ২ সেকেন্ড লাগে)।
বিকল্পভাবে, পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল $T_Q = \frac{2 \times t}{t - n}$
$\Rightarrow T_Q = \frac{2 \times 3600}{3600 - 45}$
$\Rightarrow T_Q = \frac{7200}{3555} \approx 2.0253$ s

$\therefore h_Q = R \left( \frac{T_Q}{T} - 1 \right)$
$\Rightarrow h_Q = 6.4 \times 10^6 \left( \frac{2.0253}{2} - 1 \right)$
$\Rightarrow h_Q = 6.4 \times 10^6 \times 0.01265$
$\Rightarrow h_Q = 80960$ m

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত:
হিসাব অনুযায়ী, P পাহাড়ের উচ্চতা ৫৫,০৪০ মিটার এবং Q পাহাড়ের উচ্চতা ৮০,৯৬০ মিটার। যেহেতু $h_Q > h_P$, সেহেতু গাণিতিকভাবে বলা যায় যে Q পাহাড়ের উচ্চতা বেশি।