ID#6615 HSC Higher Math 2nd MCQ (Rajshahi 2025)

ধরি, $\sqrt{2i} = x + iy$ যেখানে $x$ ও $y$ বাস্তব সংখ্যা। উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই: $2i = (x + iy)^2 \implies 2i = x^2 + 2ixy + (iy)^2 \implies 2i = (x^2 - y^2) + i(2xy)$। উভয় পক্ষের বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ তুলনা করে পাই: $x^2 - y^2 = 0$ এবং $2xy = 2 \implies xy = 1$। প্রথম সমীকরণ থেকে $x^2 = y^2$, অর্থাৎ $y = x$ অথবা $y = -x$। যদি $y = x$ হয়, দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$। যখন $x = 1$, $y = 1$। সুতরাং একটি মূল হলো $(1 + i)$। যখন $x = -1$, $y = -1$। সুতরাং আরেকটি মূল হলো $(-1 - i) = -(1 + i)$। যদি $y = -x$ হয়, দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে $x(-x) = 1 \implies -x^2 = 1 \implies x^2 = -1$, যা বাস্তব $x$ এর জন্য সম্ভব নয়। সুতরাং, $\sqrt{2i}$ এর মান হলো $\pm(1 + i)$।