ID#6619 HSC Higher Math 2nd MCQ (Jessore 2025)

সাধারণত, $\cot^{-1}y = \tan^{-1}(\frac{1}{y})$ শুধুমাত্র $y > 0$ এর জন্য প্রযোজ্য। যখন $y < 0$, তখন $\cot^{-1}y = \pi + \tan^{-1}(\frac{1}{y})$ হয়। প্রদত্ত সমীকরণ $\tan^{-1}x = \cot^{-1}(\frac{1}{x})$ এর ক্ষেত্রে, $y = \frac{1}{x}$। সুতরাং, এই সমীকরণটি তখনই সত্য হবে যখন $\frac{1}{x} > 0$, অর্থাৎ $x > 0$। যদি $x < 0$ হয়, তাহলে $\tan^{-1}x$ ঋণাত্মক হবে, কিন্তু $\cot^{-1}(\frac{1}{x})$ ধনাত্মক হবে। কাজেই, এই সমীকরণটি $x < 0$ এর জন্য অসত্য। $x=0$ এর জন্য $\cot^{-1}(\frac{1}{x})$ সংজ্ঞায়িত নয়। অতএব, শর্তটি হলো $x > 0$। কিন্তু প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে $x > 0$ নেই। বিকল্পগুলি সঠিক নয়, যা প্রশ্নটির একটি ত্রুটি নির্দেশ করে। যদি একটি বিকল্প বেছে নিতে হয়, তবে কিছু প্রসঙ্গে $x \in R$ (তবে $x \neq 0$) কে 'সাধারণ ডোমেইন' হিসেবে বিবেচনা করা হতে পারে, যদিও এটি সমীকরণের সঠিক শর্ত নয়।