ID#6620 HSC Higher Math 2nd MCQ (Jessore 2025)

প্রথমে $\cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$ কে $\tan^{-1}$ এ রূপান্তর করি। ধরি, $\alpha = \cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$। তাহলে $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$। একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করলে, ভূমি = 2, অতিভুজ = $\sqrt{5}$। লম্ব = $\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5-4} = 1$। সুতরাং, $\tan\alpha = \frac{1}{2}$। অতএব, $\cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}} = \tan^{-1}\frac{1}{2}$। প্রদত্ত রাশিটি হলো $4(\tan^{-1}\frac{1}{2} + \tan^{-1}\frac{1}{3})$। আমরা জানি, $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ যখন $xy < 1$। এখানে $xy = \frac{1}{6} < 1$। সুতরাং, $\tan^{-1}\frac{1}{2} + \tan^{-1}\frac{1}{3} = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\right) = \tan^{-1}(1)$। $\tan^{-1}(1)$ এর মুখ্যমান হলো $\frac{\pi}{4}$। অতএব, প্রদত্ত রাশির মান হলো $4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$।